2005-全国卷I文-14 填-二项展开常数项

本题导读

本题考查二项式定理，以及展开式中常数项的求解。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(文)） ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^8$ 的展开式中，常数项为　　　　（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_8^k{x}^{8-k}{\left(-\frac{1}{x}\right)}^k=(-1{)}^k{\mathrm{C}}_8^k{x}^{8-2k}$。
2. 常数项需 $8-2k=0$，$k=4$。
3. 常数项 $=(-1{)}^4{\mathrm{C}}_8^4={\mathrm{C}}_8^4=70$。

✅【答案】

Success

$70$

✍【详细解析】

Abstract

${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^8$ 的通项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_8^k{x}^{8-k}{\left(-\frac{1}{x}\right)}^k=(-1{)}^k{\mathrm{C}}_8^k{x}^{8-2k}$． 令 $8-2k=0$，得 $k=4$． 故常数项为 $(-1{)}^4{\mathrm{C}}_8^4={\mathrm{C}}_8^4=\frac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1}=70$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项展开常数项

核心方法：通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_8^k{x}^{8-k}{\left(-\frac{1}{x}\right)}^k=(-1{)}^k{\mathrm{C}}_8^k{x}^{8-2k}$，令 $8-2k=0$ 得 $k=4$，常数项 ${\mathrm{C}}_8^4=70$

避坑指南：${\left(-\frac{1}{x}\right)}^k$ 的负号要保留，但 $(-1{)}^4=1$；常数项是 $x^0$ 项不是 $x$ 的最低次项

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于二项式定理的通项公式，教材”二项式定理”指定项问题

结论推广：一般化：${\left(x+\frac{c}{x^k}\right)}^n$ 的常数项满足 $n-(k+1)r=0$ 型指数方程

方法推广：写通项、令 $x$ 的指数为零、解出 $r$ 代回组合数；注意负号的幂

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2010-大纲Ⅰ文-05 单-二项式系数
• 2009-大纲Ⅰ文-13 填-二项式系数
• 2006-全国卷I文-10 单-二项展开指定项系数
• 2008-大纲Ⅰ文-03 单-二项式系数