2002-大纲文-15 填-二项式特定项系数

本题导读

本题考查二项式定理，以及特定项系数的求解。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(文)） $(x^2+1)(x-2{)}^7$ 展开式中 $x^3$ 的系数是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x^2$ 乘 $(x-2{)}^7$ 的 $x$ 项，$1$ 乘 $(x-2{)}^7$ 的 $x^3$ 项。
2. 两项系数相加。

✅【答案】

Success

$1008$

✍【详细解析】

Abstract

$x^3$ 项由 $x^2\cdot C_7^1(-2{)}^{6}x$ 与 $1\cdot C_7^3(-2{)}^4{x}^3$ 构成，系数为 $C_7^1(-2{)}^6+C_7^3(-2{)}^4=7\times 64+35\times 16=448+560=1008$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式特定项系数

核心方法：$x^3$ 项由 $x^2\cdot (C_7^1(-2{)}^{6}x)+1\cdot (C_7^3(-2{)}^4{x}^3)$ 得 $7\times 64+35\times 16=1008$

避坑指南：两部分对 $x^3$ 的贡献相加

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二项式定理

结论推广：一般地，特定项系数由各部分贡献相加

方法推广：分配指数凑目标项

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-14 填-二项式特定项系数
• 2003-天津文-13 填-二项式特定项系数
• 2004-全国卷III文-06 单-二项式展开常数项