2003-天津文-13 填-二项式特定项系数

本题导读

本题考查二项式定理展开式的特定项系数。

📌【题干】

Question

（2003年天津卷(文)） ${\left(x^2-\frac{1}{2x}\right)}^9$ 的展开式中 $x^9$ 的系数是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_9^k(x^2{)}^{9-k}{\left(-\frac{1}{2x}\right)}^k={\mathrm{C}}_9^k{\left(-\frac{1}{2}\right)}^k{x}^{18-3k}$。
2. 令 $18-3k=9$ 得 $k=3$。
3. 系数 ${\mathrm{C}}_9^3{\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=84\times \left(-\frac{1}{8}\right)=-\frac{21}{2}$。

✅【答案】

Success

$-\frac{21}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_9^k(x^2{)}^{9-k}{\left(-\frac{1}{2x}\right)}^k={\mathrm{C}}_9^k{\left(-\frac{1}{2}\right)}^k{x}^{18-3k}$.令 $18-3k=9$，得 $k=3$，故 $x^9$ 的系数为 ${\mathrm{C}}_9^3{\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=84\times \left(-\frac{1}{8}\right)=-\frac{21}{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式特定项系数
2. 核心方法：通项 ${\mathrm{C}}_9^k(x^2{)}^{9-k}(-\frac{1}{2x}{)}^k={\mathrm{C}}_9^k(-\frac{1}{2}{)}^k{x}^{18-3k}$，令 $18-3k=9$ 得 $k=3$，系数 ${\mathrm{C}}_9^3(-\frac{1}{2}{)}^3=-\frac{21}{2}$
3. 避坑指南：通项定指数求 $k$；系数含 $(-\frac{1}{2}{)}^k$ 符号，${\mathrm{C}}_9^3=84$，$84\times (-\frac{1}{8})=-\frac{21}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于二项式定理，教材”计数原理”
2. 结论推广: 一般化：通项 ${\mathrm{C}}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$，令指数定 $k$；通项定指数求系数，注意符号

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-14 填-二项式特定项系数
• 2007-天津文-12 填-二项式常数项
• 2008-天津文-12 填-二项式特定项系数