2001-大纲文-13 填-二项式特定项系数

本题导读

本题考查二项式定理，以及特定项系数的求解。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(文)） ${\left(\frac{1}{2}x+1\right)}^{10}$ 的二项展开式中 $x^3$ 的系数为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x^3$ 项须取三个 $\frac{1}{2}x$ 因子。
2. 系数为 $C_{10}^3{\left(\frac{1}{2}\right)}^3$。

✅【答案】

Success

$15$

✍【详细解析】

Abstract

$x^3$ 项必须从十个因式中取出三个 $\frac{1}{2}x$，其余七个因式取 $1$，故 $x^3$ 的系数为 $C_{10}^3{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=120\times \frac{1}{8}=15$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式特定项系数

核心方法：$x^3$ 项取三个 $\frac{1}{2}x$ 与七个 $1$，系数 $C_{10}^3{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=120\cdot \frac{1}{8}=15$

避坑指南：二项式通项定指数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二项式定理

结论推广：一般地，$(a+b{)}^n$ 特定项由通项定指数

方法推广：二项式通项定指数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2003-天津文-13 填-二项式特定项系数
• 2004-全国卷IV文-13 填-二项式特定项系数
• 2005-全国卷III文-03 单-二项展开式指定项系数