2003-河南卷-13 填-二项式特定项系数

本题导读

本题考查二项式定理，以及特定项系数的求解。

📌【题干】

Question

（2003年河南卷） ${\left(x^2-\frac{1}{2x}\right)}^9$ 展开式中 $x^9$ 的系数是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 $T_{k+1}=C_9^k(x^2{)}^{9-k}{\left(-\frac{1}{2x}\right)}^k=C_9^k\frac{(-1{)}^k}{2^k}{x}^{18-3k}$。
2. 令 $18-3k=9$ 得 $k=3$。

✅【答案】

Success

$-\frac{21}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

展开式的通项为 $C_9^k(x^2{)}^{9-k}{\left(-\frac{1}{2x}\right)}^k=C_9^k\frac{(-1{)}^k}{2^k}{x}^{18-3k}$.令 $18-3k=9$ 得 $k=3$，故 $x^9$ 的系数为 $C_9^3\frac{(-1{)}^3}{2^3}=-\frac{84}{8}=-\frac{21}{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式特定项系数
2. 核心方法：通项 $18-3k=9$ 得 $k=3$，系数 $C_9^3{\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=-\frac{21}{2}$
3. 避坑指南：令指数为 $9$ 定 $k$，系数含符号

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材二项式定理
2. 结论推广: 一般地，特定项由指数条件定 $k$；写通项，令指数等于目标值

🔗【关联脉络】

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