2004-湖南文-14 填-二项式常数项

本题导读

本题考查二项式定理的通项公式，以及常数项的求解。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(文)） ${\left(x^2+\frac{1}{x}\right)}^9$ 的展开式中的常数项为 $\underline{}$.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 ${\mathrm{C}}_9^r(x^2{)}^{9-r}{\left(\frac{1}{x}\right)}^r={\mathrm{C}}_9^r{x}^{18-3r}$。
2. 令 $18-3r=0$ 得 $r=6$。
3. 常数项 ${\mathrm{C}}_9^6={\mathrm{C}}_9^3=84$。

✅【答案】

Success

$84$

✍【详细解析】

Abstract

展开式的通项为 ${\mathrm{C}}_9^r(x^2{)}^{9-r}{\left(\frac{1}{x}\right)}^r={\mathrm{C}}_9^r{x}^{18-3r}$，其中 $r=0,1,\cdots ,9$.令指数 $18-3r=0$，得 $r=6$，故常数项为 ${\mathrm{C}}_9^6={\mathrm{C}}_9^3=\frac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=84$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式常数项
2. 核心方法：通项 ${\mathrm{C}}_9^r(x^2{)}^{9-r}{\left(\frac{1}{x}\right)}^r={\mathrm{C}}_9^r{x}^{18-3r}$，令 $18-3r=0$ 得 $r=6$，常数项 ${\mathrm{C}}_9^6={\mathrm{C}}_9^3=84$
3. 避坑指南：指数 $18-3r=0\Rightarrow r=6$；${\mathrm{C}}_9^6={\mathrm{C}}_9^3=84$，用互补性质简化计算

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于二项式定理，教材”计数原理”
2. 结论推广: 一般化：通项 ${\mathrm{C}}_n^r{x}^{a(n-r)+br}$，令指数为零；通项定指数求 $r$，用 ${\mathrm{C}}_n^r={\mathrm{C}}_n^{n-r}$ 简化

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2004-浙江文-07 单-二项式常数项
• 2005-湖北卷文-14 填-两个二项式的常数项
• 2004-全国卷III文-06 单-二项式展开常数项