2005-湖北卷文-14 填-两个二项式的常数项

本题导读

本题考查二项式定理展开式中常数项的求解。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(文)） ${\left(x^3-\frac{2}{x}\right)}^4+{\left(x+\frac{1}{x}\right)}^8$ 的展开式中整理后的常数项等于$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 在 ${\left(x^3-\frac{2}{x}\right)}^4$ 中，通项 ${\mathrm{C}}_4^j(x^3{)}^{4-j}{\left(-\frac{2}{x}\right)}^j$，令幂次为 0。
2. 在 ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^8$ 中，通项 ${\mathrm{C}}_8^j{x}^{8-2j}$，令幂次为 0。
3. 两部分常数项相加。

✅【答案】

Success

$38$

✍【详细解析】

Abstract

在 ${\left(x^3-\frac{2}{x}\right)}^4$ 的展开式中，项 ${\mathrm{C}}_4^j(x^3{)}^{4-j}{\left(-\frac{2}{x}\right)}^j$ 的幂次为 $3(4-j)-j=12-4j$，令其为零得 $j=3$，故该部分常数项为 ${\mathrm{C}}_4^3(-2{)}^3=-32$．在 ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^8$ 的展开式中，项 ${\mathrm{C}}_8^j{x}^{8-2j}$ 令 $8-2j=0$ 得 $j=4$，常数项为 ${\mathrm{C}}_8^4=70$．故原展开式的常数项为 $-32+70=38$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两个二项式的常数项

核心方法：两个展开式分别求常数项再相加

避坑指南：$(x^3-\frac{2}{x}{)}^4$ 通项指数 $12-4j$ 取 $j=3$ 得 $-32$；$(x+\frac{1}{x}{)}^8$ 取 4 个 $x^{-1}$ 得 ${\mathrm{C}}_8^4=70$；和为 $38$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 2-3 二项式定理

结论推广：$(x^3-\frac{2}{x}{)}^4$ 常数项 $j=3$：${\mathrm{C}}_4^3(-2{)}^3=-32$；$(x+\frac{1}{x}{)}^8$ 常数项 ${\mathrm{C}}_8^4=70$

方法推广：多项和的指定项：每个展开式分别配平指数，最后代数相加

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷I理-14 填-二项式定理
• 2010-大纲Ⅱ文-14 填-二项式系数
• 2017-全国卷III理-04 单-二项式定理