2004-全国卷I文-03 单-单位向量夹角求模

本题导读

本题考查向量的数量积，以及向量模的求解。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(文)） 已知 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 均为单位向量，它们的夹角为 $60^{\circ }$，那么 $|\vec{a}+3\vec{b}|=$()

A. $\sqrt{7}$　　　　　　　B. $\sqrt{10}$　　　　　　　C. $\sqrt{13}$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求模先平方：$|\vec{a}+3\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+6\vec{a}\cdot \vec{b}+9|\vec{b}{|}^2$。
2. 代入 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$|\vec{a}+3\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+6\vec{a}\cdot \vec{b}+9|\vec{b}{|}^2=1+6\times \frac{1}{2}+9=13$，故 $|\vec{a}+3\vec{b}|=\sqrt{13}$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：单位向量夹角求模
2. 核心方法：$|a+3b{|}^2=|a{|}^2+6a\cdot b+9|b{|}^2=1+6\cos 60^{\circ }+9=13$，$|a+3b|=\sqrt{13}$
3. 避坑指南：展开用 $|u+v{|}^2=|u{|}^2+2u\cdot v+|v{|}^2$，中间项系数是 $2\times 3=6$，$a\cdot b=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$——别漏交叉项

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于平面向量数量积与模，教材”平面向量的数量积”基础题
2. 结论推广: 一般化：$|ma+nb{|}^2=m^2|a{|}^2+2mna\cdot b+n^2|b{|}^2$，是求模的通用公式；求模先平方，展开时交叉项系数与夹角余弦都要算准

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2006-重庆文-08 单-向量模等求夹角
• 2008-江苏卷-05 填-向量模长夹角
• 2006-全国卷I文-01 单-向量数量积求夹角