2006-全国卷I文-01 单-向量数量积求夹角

本题导读

本题考查向量的数量积，以及向量的夹角。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(文)） 已知向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1$，$|\vec{b}|=4$，且 $\vec{a}\cdot \vec{b}=2$，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为()

A. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由数量积定义 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$。
2. 代入 $\cos \theta =\frac{2}{1\times 4}=\frac{1}{2}$。
3. $\theta \in [0,\pi ]$，故 $\theta =\frac{\pi }{3}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\theta$，由数量积定义 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$， 得 $\cos \theta =\frac{2}{1\times 4}=\frac{1}{2}$． 又 $\theta \in [0,\pi ]$，故 $\theta =\frac{\pi }{3}$．故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量数量积求夹角

核心方法：$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{2}{1\times 4}=\frac{1}{2}$，$\theta =\frac{\pi }{3}$

避坑指南：夹角的余弦是数量积除以模长之积，别漏除以 $|\vec{a}||\vec{b}|$；$\theta$ 取 $[0,\pi ]$，$\cos =\frac{1}{2}$ 对应 $\frac{\pi }{3}$ 不是 $\frac{\pi }{6}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源于向量数量积的定义，教材”平面向量的数量积”基础结论

结论推广: 一般化：$\cos ⟨\vec{a},\vec{b}⟩=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ 是求两向量夹角的基本公式

方法推广: 已知数量积与模长求夹角，直接用余弦公式；夹角范围 $[0,\pi ]$ 保证唯一

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-大纲Ⅰ文-08 单-向量夹角
• 2008-大纲Ⅰ文-05 单-向量定比分点
• 2009-新课标Ⅰ文-07 单-向量垂直定参