2004-全国卷IV文-15 填-向量数量积与夹角

本题导读

本题考查向量的数量积，以及向量夹角的余弦。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(文)） 向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 满足 $(\vec{a}-\vec{b})\cdot (2\vec{a}+\vec{b})=-4$，且 $|\vec{a}|=2$，$|\vec{b}|=4$，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开：$2|\vec{a}{|}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}-|\vec{b}{|}^2=-4$。
2. 代入 $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=4$，得 $\vec{a}\cdot \vec{b}=-4$。
3. $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$。

✅【答案】

Success

$-\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

展开 $(\vec{a}-\vec{b})\cdot (2\vec{a}+\vec{b})=2|\vec{a}{|}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}-|\vec{b}{|}^2=-4$.代入 $|\vec{a}|=2$、$|\vec{b}|=4$ 得 $8-\vec{a}\cdot \vec{b}-16=-4$，故 $\vec{a}\cdot \vec{b}=-4$.设夹角为 $\theta$，$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{-4}{2\times 4}=-\frac{1}{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量数量积与夹角
2. 核心方法：$(a-b)\cdot (2a+b)=2|a{|}^2-a\cdot b-|b{|}^2=-4$；代入 $|a|=2,|b|=4$ 得 $a\cdot b=-4$；$\cos \theta =\frac{-4}{2\times 4}=-\frac{1}{2}$
3. 避坑指南：展开数量积：$2|a{|}^2-a\cdot b-|b{|}^2$；$\cos \theta =\frac{a\cdot b}{|a||b|}=-\frac{1}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于向量数量积，教材”平面向量的数量积”
2. 结论推广: 一般化：$(a-b)\cdot (ma+nb)=m|a{|}^2+(n-m)a\cdot b-n|b{|}^2$；展开得 $a\cdot b$，再用 $\cos \theta =\frac{a\cdot b}{|a||b|}$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2005-江西卷文-06 单-向量夹角的数量积求法
• 2006-全国卷I文-01 单-向量数量积求夹角
• 2004-全国卷II文-09 单-向量模与数量积