2004-全国卷II文-09 单-向量模与数量积

本题导读

本题考查向量的模与数量积，以及模的平方展开。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(文)） 已知向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 满足：$|\vec{a}|=1$，$|\vec{b}|=2$，$|\vec{a}-\vec{b}|=2$，则 $|\vec{a}+\vec{b}|=$()

A. $1$　　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{5}$　　　　　　　D. $\sqrt{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}=4$，解出 $\vec{a}\cdot \vec{b}$。
2. $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}$。
3. 开方得模。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

★ 原卷此 PDF 版题干印"$|\vec{a}|+|\vec{b}|$"系排印错误（其值为 $3$，不在选项中），按期刊与答案册录"$|\vec{a}+\vec{b}|$"．由 $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}$ 得 $4=1+4-2\vec{a}\cdot \vec{b}$，故 $\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{2}$.于是 $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}=1+4+1=6$，$|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{6}$，选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量模与数量积
2. 核心方法：$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=1+4-2\vec{a}\cdot \vec{b}=4\Rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{2}$；$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=1+4+1=6$，$|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{6}$
3. 避坑指南：★ 原卷此 PDF 版印”|a|+|b|“系排印错误（$=3$ 不在选项），按期刊与答案册录"$|a+b|$"；模平方展开的交叉项系数是 $\pm 2$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于向量数量积与模，教材”平面向量的数量积”
2. 结论推广: 一般化：$|a-b{|}^2+|a+b{|}^2=2(|a{|}^2+|b{|}^2)$（平行四边形恒等式）；模的条件全部平方化成数量积，再拼目标模的平方

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I文-03 单-单位向量夹角求模
• 2012-新课标Ⅰ文-15 填-向量数量积求模
• 2013-辽宁卷文-17 解-向量模与数量积