2005-天津卷文-12 填-平行四边形对角线长

本题导读

本题考查平面向量数量积与模长，核心在于用 $|a\pm b{|}^2$ 展开式求两条对角线的长度。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(文)） 已知 $|\vec{a}|=2$，$|\vec{b}|=4$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{\pi }{3}$，以 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 两条对角线对应 $\vec{a}+\vec{b}$ 与 $\vec{a}-\vec{b}$。
2. $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=4+16+2\times 8\times \frac{1}{2}=28$，$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=4+16-2\times 8\times \frac{1}{2}=12$。
3. 短对角线 $=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。

✅【答案】

Success

$2\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

平行四边形的两条对角线所对应的向量分别为 $\vec{a}+\vec{b}$ 和 $\vec{a}-\vec{b}$．由数量积公式， $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \frac{\pi }{3}=4+16+8=28$， $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \frac{\pi }{3}=4+16-8=12$． 较短对角线的长度为 $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平行四边形对角线长

核心方法：对角线对应和差向量，模长公式

避坑指南：短对角线对应 $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}}=2\sqrt{3}$；长对角线短对角线与夹角钝锐对应关系要理清

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量模与夹角几何化

结论推广：$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}$ 与平行四边形对角线一一对应

方法推广：两对角线长平方和等于四边长平方和（平行四边形恒等式）可作快速验算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I文-03 单-单位向量夹角求模
• 2020-新课标II文-05 单-向量垂直