2003-河南卷-04 单-菱形对角线向量表示

本题导读

本题考查向量的线性表示，以及菱形对角线向量的分解。

📌【题干】

Question

（2003年河南卷） 已知四边形 $ABCD$ 是菱形，点 $P$ 在对角线 $AC$ 上（不包括端点 $A$，$C$），则 $\overrightarrow{AP}=$()

A. $\lambda (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$（$\lambda \in (0,1)$）　　　　　　　　　　B. $\lambda (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})$（$\lambda \in (0,\frac{\sqrt{2}}{2})$）

C. $\lambda (\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})$（$\lambda \in (0,1)$）　　　　　　　　　　D. $\lambda (\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC})$（$\lambda \in (0,\frac{\sqrt{2}}{2})$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 菱形是平行四边形，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$。
2. $P$ 在对角线内部，$\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AC}$，$\lambda \in (0,1)$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

菱形是平行四边形，故 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.点 $P$ 在对角线 $AC$ 的内部（不含端点），所以存在 $\lambda \in (0,1)$ 使 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AC}=\lambda (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$，选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：菱形对角线向量表示
2. 核心方法：$P$ 在对角线 $AC$ 内部，$\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AC}=\lambda (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$，$\lambda \in (0,1)$
3. 避坑指南：菱形对角线向量 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材向量的线性运算
2. 结论推广: 一般地，对角线向量等于两邻边向量之和；平行四边形法则分解向量

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2005-天津卷文-12 填-平行四边形对角线长
• 2004-上海卷文-06 填-向量定坐标
• 2008-山东文-22 解-菱形内切椭圆与面积最值