2002-新课标文-12 单-向量共线轨迹

本题导读

本题考查”系数和为 $1$“这条判据的正向用法。题目把点 $C$ 写成 $A$、$B$ 两点位置的组合，系数和又被钉死为 $1$，看似两个自由参数的动点其实只有一个自由度。能否一眼看出它落在哪条直线上，决定这道题是三十秒还是三分钟。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(文)） 平面直角坐标系中，$O$ 为坐标原点，已知两点 $A(3,1)$，$B(-1,3)$，若点 $C$ 满足 $\overrightarrow{OC}=\alpha \overrightarrow{OA}+\beta \overrightarrow{OB}$，其中 $\alpha ,\beta \in \mathbf{R}$，且 $\alpha +\beta =1$，则点 $C$ 的轨迹方程为()

A. $3x+2y-11=0$　　B. $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=5$　　C. $2x-y=0$　　D. $x+2y-5=0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\alpha +\beta =1$ 是 $A,B,C$ 三点共线的充要条件。
2. $C$ 轨迹为直线 $AB$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由 $\overrightarrow{OC}=\alpha \overrightarrow{OA}+\beta \overrightarrow{OB}$ 且 $\alpha +\beta =1$ 知 $A,B,C$ 三点共线，故点 $C$ 的轨迹是过 $A(3,1)$、$B(-1,3)$ 的直线，其方程为 $x+2y-5=0$，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量共线轨迹

核心方法：由 $\overrightarrow{OC}=\alpha \overrightarrow{OA}+\beta \overrightarrow{OB}$ 且 $\alpha +\beta =1$ 知 $A,B,C$ 三点共线，$C$ 轨迹为直线 $AB$：$x+2y-5=0$

避坑指南：$\alpha +\beta =1$ 与”$A,B,C$ 三点共线”是同一件事的两种说法，两头都要会用——见系数和为 $1$ 就敢说共线（本例用来定轨迹），见共线就敢写系数和为 $1$（下一例反过来用）。另有一处常错：把 $1$ 换成别的常数就不再是共线，而是”落在与 $AB$ 平行的另一条直线上”，$\alpha +\beta =k$ 里的 $k$ 只是给这条平行线编的号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材向量的线性运算

结论推广：一般地，$\alpha +\beta =1$ 是三点共线的充要条件

方法推广：用三点共线直接得直线方程

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

• 2003-河南卷-04 单-菱形对角线向量表示
• 2003-上海文-21 解-向量圆对称抛物线
• 2003-河南卷-21 解-向量定向动点轨迹