2003-天津文-09 单-对数型反函数

本题导读

本题考查对数型函数的反函数求法。

📌【题干】

Question

（2003年天津卷(文)） 函数 $y=\ln \frac{x+1}{x-1}$，$x\in (1,+\infty )$ 的反函数为()

A. $y=\frac{e^x-1}{e^x+1}$，$x\in (0,+\infty )$　　　　　　　　　B. $y=\frac{e^x+1}{e^x-1}$，$x\in (0,+\infty )$

C. $y=\frac{e^x-1}{e^x+1}$，$x\in (-\infty ,0)$　　　　　　　　　D. $y=\frac{e^x+1}{e^x-1}$，$x\in (-\infty ,0)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $y=\ln \frac{x+1}{x-1}$ 得 $\frac{x+1}{x-1}=e^y$。
2. 解出 $x=\frac{e^y+1}{e^y-1}$。
3. $x\in (1,+\infty )$ 时 $\frac{x+1}{x-1}\in (1,+\infty )$，$y\in (0,+\infty )$，反函数 $y=\frac{e^x+1}{e^x-1},x\in (0,+\infty )$，选 B。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=\ln \frac{x+1}{x-1}$ 得 $\frac{x+1}{x-1}=e^y$，即 $x+1=e^y(x-1)$，$(e^y-1)x=e^y+1$，$x=\frac{e^y+1}{e^y-1}$.当 $x\in (1,+\infty )$ 时，$\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}>1$，故 $y=\ln \frac{x+1}{x-1}\in (0,+\infty )$，即原函数值域为 $(0,+\infty )$.故反函数为 $y=\frac{e^x+1}{e^x-1}$，$x\in (0,+\infty )$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数型反函数
2. 核心方法：$y=\ln \frac{x+1}{x-1}$ 得 $\frac{x+1}{x-1}=e^y$，$x=\frac{e^y+1}{e^y-1}$；$x\in (1,+\infty )$ 时 $y\in (0,+\infty )$，反函数 $y=\frac{e^x+1}{e^x-1},x\in (0,+\infty )$
3. 避坑指南：解出 $x$ 换 $y$；注意原函数值域为 $(0,+\infty )$ 即反函数定义域

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于反函数，教材”函数”
2. 结论推广: 一般化：指数对数互化求反函数，注意定义域；解 $x$ 换 $y$，原值域为反函数定义域

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2007-天津文-05 单-对数型反函数
• 2008-大纲Ⅰ文-08 单-反函数
• 2010-大纲Ⅱ文-04 单-对数反函数