2003-河南卷-07 单-对数型反函数

本题导读

本题考查反函数的求法，以及对数函数的性质。

📌【题干】

Question

（2003年河南卷） 函数 $y=\ln x+\frac{1}{x-1}$，$x\in (1,+\infty )$ 的反函数为()

A. $y=\frac{e^x-1}{e^x+1}$（$x\in (0,+\infty )$）　　　　　　　B. $y=\frac{e^x+1}{e^x-1}$（$x\in (0,+\infty )$）

C. $y=\frac{e^x-1}{e^x+1}$（$x\in (-\infty ,0)$）　　　　　　　D. $y=\frac{e^x+1}{e^x-1}$（$x\in (-\infty ,0)$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $u=\ln \frac{t+1}{t-1}$（$t>1$），则 $e^u=\frac{t+1}{t-1}$。
2. 解出 $t=\frac{e^u+1}{e^u-1}$；$t>1$ 时 $u>0$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设 $u=\ln \frac{t+1}{t-1}$，其中 $t>1$，则 $e^u=\frac{t+1}{t-1}$，解得 $t=\frac{e^u+1}{e^u-1}$.当 $t>1$ 时 $\frac{t+1}{t-1}>1$，故 $u>0$.交换 $x$ 与 $y$，反函数为 $y=\frac{e^x+1}{e^x-1}$，$x\in (0,+\infty )$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数型反函数
2. 核心方法：$e^u=\frac{t+1}{t-1}$ 解得 $t=\frac{e^u+1}{e^u-1}$，$t>1$ 时 $u>0$，反函数 $y=\frac{e^x+1}{e^x-1}$（$x>0$）
3. 避坑指南：反函数定义域由原函数值域确定

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材反函数
2. 结论推广: 一般地，反函数定义域为原函数值域；解出反函数表达式并确定定义域

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2003-天津文-09 单-对数型反函数
• 2008-大纲Ⅰ文-08 单-反函数
• 2010-大纲Ⅱ文-04 单-对数反函数