2001-大纲文-06 单-指数函数的反函数

本题导读

本题考查反函数的求解，以及指数函数的反函数。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(文)） 函数 $y=2^{-x}+1$（$x>0$）的反函数是()

A. $y={\log }_2\frac{1}{x-1}$，$x\in (1,2)$　　　　　　　　　　　　B. $y=-{\log }_2\frac{1}{x-1}$，$x\in (1,2)$

C. $y={\log }_2\frac{1}{x-1}$，$x\in (1,2]$　　　　　　　　　　　　D. $y=-{\log }_2\frac{1}{x-1}$，$x\in (1,2]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x>0$ 时 $1<y<2$，值域 $(1,2)$。
2. 反解 $x={\log }_2\frac{1}{y-1}$ 后交换变元。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由 $x>0$ 得 $0<2^{-x}<1$，故 $1<y<2$，值域为 $(1,2)$．由 $y=2^{-x}+1$ 得 $2^{-x}=y-1$，取对数 $x={\log }_2\frac{1}{y-1}$，交换 $x,y$ 得反函数 $y={\log }_2\frac{1}{x-1}$，$x\in (1,2)$，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数函数的反函数

核心方法：$x>0$ 时值域 $(1,2)$，$y=2^{-x}+1$ 反解 $x={\log }_2\frac{1}{y-1}$，交换得 $y={\log }_2\frac{1}{x-1},x\in (1,2)$

避坑指南：反解交换变元

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材反函数

结论推广：一般地，求反函数先定原函数值域，再反解交换

方法推广：反解交换变元

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2003-天津文-09 单-对数型反函数
• 2004-全国卷III文-03 单-反函数求值
• 2002-上海卷文-12 填-反函数充要条件