2001-新课标卷文-04 单-对数函数单调区间

本题导读

本题考查对数函数的符号与底数、真数的关系，以及参数范围的求解。

📌【题干】

Question

（2001年新课标卷(文)） 若定义在区间 $(-1,0)$ 内的函数 $f(x)={\log }_{2a}(x+1)$ 满足 $f(x)>0$，则 $a$ 的取值范围是()

A. $\left(0,\frac{1}{2}\right)$　　　　B. $\left(0,\frac{1}{2}\right]$　　　　C. $\left(\frac{1}{2},+\infty \right)$　　　　D. $(0,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x\in (-1,0)$ 时 $0<x+1<1$。
2. 真数在 $(0,1)$ 时对数为正，须 $0<2a<1$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

当 $x\in (-1,0)$ 时，$0<x+1<1$．对数的真数在 $(0,1)$ 内时，其值为正当且仅当底数也在 $(0,1)$ 内，即 $0<2a<1$，解得 $0<a<\frac{1}{2}$，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数单调区间

核心方法：$x\in (-1,0)$ 时 $0<x+1<1$，${\log }_{2a}(x+1)>0$ 当且仅当 $0<2a<1$，即 $0<a<\frac{1}{2}$

避坑指南：底数 $0<2a<1$ 时真数在 $(0,1)$ 对数才为正

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材对数函数

结论推广：一般地，对数函数符号由底数与真数相对 $1$ 的大小决定

方法推广：分底数范围讨论对数符号

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2002-大纲文-09 单-对数不等式范围
• 2002-新课标文-10 单-对数不等式范围
• 2003-天津文-09 单-对数型反函数