2003-大纲文-19 解-数列递推求通项

本题导读

本题考查数列递推与累加法。核心在于把递推式化为 $a_n-a_{n-1}=3^{n-1}$，用累加法求和证明通项。

📌【题干】

Question

（2003年大纲卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_n=3^{n-1}+a_{n-1}$（$n⩾2$）．

(1) 求 $a_2,a_3$；

(2) 证明：$a_n=\frac{3^n-1}{2}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）$a_2=3^1+1=4$，$a_3=3^2+4=13$。
2. （2）$a_n-a_{n-1}=3^{n-1}$，累加 $a_n=a_1+{\sum }_{j=1}^{n-1}{3}^j$。
3. $a_n=1+\frac{3(3^{n-1}-1)}{2}=\frac{3^n-1}{2}$，且 $n=1$ 成立。

✅【答案】

Success

(1) $a_2=4$，$a_3=13$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）由递推关系，$a_2=3^1+a_1=3+1=4$，$a_3=3^2+a_2=9+4=13$. （2）当 $n⩾2$ 时，$a_n-a_{n-1}=3^{n-1}$，逐项相加得 $a_n=a_1+{\sum }_{k=2}^n(a_k-a_{k-1})=1+{\sum }_{j=1}^{n-1}{3}^j$.由等比数列求和，$a_n=1+\frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1}=1+\frac{3^n-3}{2}=\frac{3^n-1}{2}$.当 $n=1$ 时右式为 $\frac{3-1}{2}=1=a_1$，故结论对一切 $n⩾1$ 成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数列递推求通项
2. 核心方法：（1）$a_2=3+1=4$，$a_3=9+4=13$；（2）$a_n-a_{n-1}=3^{n-1}$，累加 $a_n=1+{\sum }_{j=1}^{n-1}{3}^j=1+\frac{3(3^{n-1}-1)}{2}=\frac{3^n-1}{2}$
3. 避坑指南：递推 $a_n-a_{n-1}=3^{n-1}$ 用累加法；等比求和 ${\sum }_{j=1}^{n-1}{3}^j=\frac{3(3^{n-1}-1)}{2}$，注意 $n=1$ 也成立

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于数列递推，教材”数列”
2. 结论推广: 一般化：$a_n-a_{n-1}=f(n)$ 用累加法，等比求和；累加法求通项并证

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I文-17 解-等差数列通项与和
• 2004-全国卷IV文-18 解-等比数列通项与和
• 2007-大纲Ⅰ文-21 解-等差等比数列与错位相减