2003-天津文-19 解-数列递推求通项

本题导读

本题考查数列递推关系与数学归纳法求通项。

📌【题干】

Question

（2003年天津卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_n=3^{n-1}+a_{n-1}$（$n⩾2$）．

(1) 求 $a_2,a_3$；

(2) 证明：$a_n=\frac{3^n-1}{2}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a_2=3^1+a_1=4$，$a_3=3^2+a_2=13$。
2. 猜想 $a_n=\frac{3^n-1}{2}$，$n=1$ 时成立。
3. 假设 $a_k=\frac{3^k-1}{2}$，则 $a_{k+1}=3^k+\frac{3^k-1}{2}=\frac{3^{k+1}-1}{2}$，归纳得证。

✅【答案】

Success

(1) $a_2=4$，$a_3=13$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）由递推关系，$a_2=3^1+a_1=3+1=4$，$a_3=3^2+a_2=9+4=13$. （2）当 $n=1$ 时，$a_1=1=\frac{3^1-1}{2}$，结论成立。假设当 $n=k$ 时成立，即 $a_k=\frac{3^k-1}{2}$，则 $a_{k+1}=3^k+a_k=3^k+\frac{3^k-1}{2}=\frac{2\cdot 3^k+3^k-1}{2}=\frac{3^{k+1}-1}{2}$，故当 $n=k+1$ 时结论也成立。由数学归纳法，$a_n=\frac{3^n-1}{2}$ 对一切正整数 $n$ 成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数列递推求通项
2. 核心方法：$a_2=3^1+a_1=4$，$a_3=3^2+a_2=13$；归纳 $a_n=3^{n-1}+a_{n-1}$，$a_1=1$，累加/归纳证 $a_n=\frac{3^n-1}{2}$
3. 避坑指南：递推累加或数学归纳；$a_n=\frac{3^n-1}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于数列递推，教材”数列”
2. 结论推广: 一般化：$a_n=3^{n-1}+a_{n-1}$ 累加或归纳；数学归纳法证通项

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-19 解-数列递推求通项
• 2007-大纲Ⅰ文-21 解-等差等比数列与错位相减
• 2012-大纲卷文-18 解-Sn型递推求通项