2004-全国卷I文-17 解-等差数列通项与和

本题导读

本题考查等差数列的通项与前 $n$ 项和。核心在于由两项求公差、由和反求项数。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(文)） 等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和记为 $S_n$.已知 $a_{10}=30$，$a_{20}=50$.

(1) 求通项 $a_n$；

(2) 若 $S_n=242$，求 $n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a_{20}-a_{10}=10d=20$，得 $d=2$，回代 $a_1=12$。
2. $a_n=2n+10$。
3. $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n(n+11)$，令其等于 242 解 $n$。

✅【答案】

Success

(1) $a_n=2n+10$

(2) $n=11$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $a_{20}-a_{10}=10d=50-30=20$ 得 $d=2$，$a_1=a_{10}-9d=30-18=12$.故 $a_n=12+2(n-1)=2n+10$. （2）$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(12+2n+10)}{2}=n(n+11)$.令 $n(n+11)=242$，即 $n^2+11n-242=0$，分解得 $(n-11)(n+22)=0$，又 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，故 $n=11$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列通项与和
2. 核心方法：$10d=20\Rightarrow d=2$，$a_1=12$；$a_n=2n+10$；$S_n=n(n+11)=242\Rightarrow n=11$
3. 避坑指南：两式相减 $a_{20}-a_{10}=10d$；$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n(n+11)$，解 $n^2+11n-242=0$ 取正根 11——别把 $a_n$ 与 $S_n$ 混淆

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于等差数列的通项与前 $n$ 项和，教材”数列”基础题
2. 结论推广: 一般化：已知 $a_m,a_n$ 求 $d$，再由 $S_n$ 反求项数；两式相减求公差，和公式代入解方程，注意舍负根

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2005-山东卷文-01 单-等差数列基本量
• 2006-全国卷II文-06 单-等差数列基本量求和
• 2005-福建卷文-03 单-等差数列的性质