2004-北京春文-20 解-等差数阵与通项

本题导读

本题考查等差数阵与数列通项。核心在于由行、列公差递推出通项，再分解定位置。

📌【题干】

Question

下表给出一个”等差数阵”： 其中每行、每列都是等差数列，$a_{ij}$ 表示位于第 $i$ 行第 $j$ 列的数． （1）写出 $a_{45}$ 的值； （2）写出 $a_{ij}$ 的计算公式以及 $2008$ 这个数在等差数阵中所在的位置。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 记第 $i$ 行公差 $h_i$，第 $j$ 列公差 $v_j$。
2. 由 $h_i+v_{j+1}=v_j+h_{i+1}$ 推 $h_i=2i+1$。
3. $a_{ij}=2ij+i+j$，用 $2a_{ij}+1=(2i+1)(2j+1)$ 分解。

✅【答案】

Success

（1）$49$；（2）$a_{ij}=2ij+i+j$，$2008$ 位于 $(1,669),(6,154),(19,51),(51,19),(154,6),(669,1)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）记第 $i$ 行公差为 $h_i$、第 $j$ 列公差为 $v_j$．由表前两行、前两列得 $h_1=7-4=3$、$h_2=12-7=5$、$v_1=7-4=3$、$v_2=12-7=5$．对任意 $i,j$，从 $a_{ij}$ 先向右再向下或先向下再向右都到达 $a_{i+1,j+1}$，故 $h_i+v_{j+1}=v_j+h_{i+1}$，即 $h_{i+1}-h_i=v_{j+1}-v_j$，这些相邻公差的增量都是 $2$，故 $h_i=3+2(i-1)=2i+1$．又 $a_{i1}=4+3(i-1)=3i+1$，故 $a_{ij}=a_{i1}+(j-1)h_i=3i+1+(j-1)(2i+1)=2ij+i+j$．于是 $a_{45}=2\times 4\times 5+4+5=49$． （2）令 $a_{ij}=2008$，得 $2ij+i+j=2008$，即 $(2i+1)(2j+1)=4017=3\times 13\times 103$．因 $i,j$ 为正整数，$2i+1,2j+1$ 是大于 $1$ 的奇数，所有有序因数对为 $(2i+1,2j+1)\in \{(3,1339),(13,309),(39,103),(103,39),(309,13),(1339,3)\}$，故 $(i,j)\in \{(1,669),(6,154),(19,51),(51,19),(154,6),(669,1)\}$，即 $2008$ 位于这六个位置．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数阵与通项

核心方法：（1）$h_i=2i+1$、$a_{i1}=3i+1$，$a_{ij}=a_{i1}+(j-1)h_i=2ij+i+j$，$a_{45}=49$；（2）令 $2ij+i+j=2008$，即 $(2i+1)(2j+1)=4017=3\times 13\times 103$，$(i,j)\in \{(1,669),(6,154),(19,51),(51,19),(154,6),(669,1)\}$

避坑指南：由 $h_i+v_{j+1}=v_j+h_{i+1}$ 推 $h_i$ 等差；$2a_{ij}+1=(2i+1)(2j+1)$ 分解 $4017$ 求位置

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于等差数阵与通项，教材”数列”

结论推广：一般化：等差数阵 $a_{ij}=2ij+i+j$，$2a_{ij}+1=(2i+1)(2j+1)$ 分解定位置

方法推广：由行、列公差递推求通项，用 $2a_{ij}+1$ 的奇因子分解求所有位置

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2005-北京春文-17 解-等差等比通项与子列和
• 2004-全国卷I文-17 解-等差数列通项与和
• 2009-浙江卷文-20 解-等差数列通项等比

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