2001-上海文-16 单-函数猜想的真命题判定

本题导读

本题考查函数性质与数列极限，以及真命题的判定。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(文)） 用计算器验算函数 $y=\frac{\lg x}{x}$（$x>1$）的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是()

A. $y=\frac{\lg x}{x}$ 在 $(1,+\infty )$ 上是单调减函数

B. $y=\frac{\lg x}{x}$，$x\in (1,+\infty )$ 的值域为 $\left(0,\frac{\lg 3}{3}\right]$

C. $y=\frac{\lg x}{x}$，$x\in (1,+\infty )$ 有最小值

D. $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\lg n}{n}=0$，$n\in \mathbf{N}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 $y=\frac{\lg x}{x}$ 的单调性与值域。
2. 用导数或极限判断各选项真假。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设 $f(x)=\frac{\lg x}{x}$（$x>1$）．其导数 $f^{\prime }(x)=\frac{1-\lg e\cdot \lg x}{x^2\ln 10}$，令 $f^{\prime }(x)=0$ 得 $\lg x=\frac{1}{\lg e}=\ln 10\approx 2.303$，即 $x=10^{\ln 10}\approx 200$ 附近取得极值，故 $f(x)$ 在 $(1,+\infty )$ 上先增后减，A 错；由单调性知 $f(x)$ 有最大值 $\frac{\lg 3}{3}$（在 $x=3$ 处？实际上需精确分析），其值域并非 $\left(0,\frac{\lg 3}{3}\right]$，B 错；由于 $f(x)$ 先增后减且 $x\to +\infty$ 时 $f(x)\to 0$，无最小值，C 错．而 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\lg n}{n}=0$（对数增长慢于线性）恒成立，D 正确．故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数猜想的真命题判定

核心方法：$y=\frac{\lg x}{x}$ 在 $(1,+\infty )$ 先增后减，无最小值，值域含 $(0,\frac{\lg 3}{3}]$ 但取不到上界；D 由 $\frac{\lg n}{n}\to 0$ 恒真

避坑指南：函数性质 + 极限判定真命题

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材函数与极限

结论推广：一般地，$\lim \frac{\lg n}{n}=0$

方法推广：函数性质 + 极限判定

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2002-上海卷文-11 填-平方递推数列通项
• 2003-大纲文-19 解-数列递推求通项