2003-上海文-07 填-正余弦定理求角

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理，以及由边的比求角。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$\sin A:\sin B:\sin C=2:3:4$，则 $\angle ABC=$ $\underline{}$.（结果用反三角函数值表示）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 正弦定理得 $a:b:c=2:3:4$。
2. 令 $a=2k,b=3k,c=4k$，余弦定理求 $\cos B$。

✅【答案】

Success

$\arccos \frac{11}{16}$

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理得 $a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C=2:3:4$，令 $a=2k,b=3k,c=4k$，则 $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{4k^2+16k^2-9k^2}{2\cdot 2k\cdot 4k}=\frac{11}{16}$，故 $\angle ABC=\arccos \frac{11}{16}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正余弦定理求角
2. 核心方法：$\sin A:\sin B:\sin C=2:3:4$，由正弦定理 $a:b:c=2:3:4$，余弦定理得 $\cos B=\frac{11}{16}$，$\angle ABC=\arccos \frac{11}{16}$
3. 避坑指南：正弦定理化边比，余弦定理求角

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材正余弦定理
2. 结论推广: 一般地，$\sin A:\sin B:\sin C=a:b:c$ 可由余弦定理求角；正弦定理化边比，余弦定理求角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷文-10 填-余弦定理解三角形
• 2006-北京文-13 填-正余弦定理解三角形
• 2007-大纲Ⅰ文-17 解-正余弦定理解三角形