2006-北京文-13 填-正余弦定理解三角形

本题导读

本题考查正弦定理，以及余弦定理。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$\angle A,\angle B,\angle C$ 所对的边长分别为 $a,b,c$．若 $\sin A:\sin B:\sin C=5:7:8$，则 $a:b:c=$，$\angle B$ 的大小是．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，故 $a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C=5:7:8$。
2. 设 $a=5k,b=7k,c=8k$，$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{25+64-49}{80}=\frac{1}{2}$。
3. $B\in (0,\pi )$，故 $B=\frac{\pi }{3}$。

✅【答案】

Success

$5:7:8$；$\frac{\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，得 $a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C=5:7:8$． 设 $a=5k$，$b=7k$，$c=8k$（$k>0$），由余弦定理 $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{25k^2+64k^2-49k^2}{2\times 5k\times 8k}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$． 又 $B\in (0,\pi )$，故 $B=\frac{\pi }{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正余弦定理解三角形

核心方法：正弦定理边角互化，余弦定理求角

避坑指南：$\sin A:\sin B:\sin C=a:b:c=5:7:8$；$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{1}{2}$，$B=\frac{\pi }{3}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 正弦定理边角互化与余弦定理求角，解三角基础题

结论推广: $\sin A:\sin B:\sin C=a:b:c$，余弦定理求角用 $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

方法推广: 边角比例条件优先用正弦定理翻译成边比，再由三边定角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-04 单-正弦定理求角
• 2009-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形
• 2010-大纲Ⅰ文-18 解-正弦定理求角