2004-全国卷III文-11 单-三角形边上的高

本题导读

本题考查余弦定理，以及三角形边上的高的求法。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(文)） 在 $△ABC$ 中，$AB=3$，$BC=\sqrt{13}$，$AC=4$，则边 $AC$ 上的高为()

A. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$　　　　　　B. $\frac{3\sqrt{3}}{2}$　　　　　　C. $\frac{3}{2}$　　　　　　D. $3\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用余弦定理求 $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}$。
2. 得 $A=60^{\circ }$。
3. $AC$ 上的高 $=AB\sin A=3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{9+16-13}{2\times 3\times 4}=\frac{1}{2}$，故 $A=60^{\circ }$.$AC$ 边上的高为 $AB\sin A=3\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角形边上的高
2. 核心方法：$AB=3$，$BC=\sqrt{13}$，$AC=4$；$\cos A=\frac{3^2+4^2-13}{2\cdot 3\cdot 4}=\frac{1}{2}$，$A=60^{\circ }$；$AC$ 上高 $=AB\sin A=3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$
3. 避坑指南：用余弦定理先求 $A$ 角，再用 $h=AB\sin A$；别直接海伦公式硬算面积

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于解三角形，教材”正弦定理与余弦定理”
2. 结论推广: 一般化：已知三边求一边上的高，先用余弦定理求角再用 $h=c\sin B$ 等；余弦定理定角，正弦（或面积）求高，两法互验

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷文-10 填-余弦定理解三角形
• 2006-北京文-13 填-正余弦定理解三角形
• 2007-大纲Ⅰ文-17 解-正余弦定理解三角形