2005-上海卷文-10 填-余弦定理解三角形

本题导读

本题考查余弦定理解三角形，以及余弦定理。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(文)） 在 $△ABC$ 中，若 $A=120^{\circ }$，$AB=5$，$BC=7$，则 $AC=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a=BC=7$，$c=AB=5$：$49=b^2+25-2\cdot b\cdot 5\cos 120^{\circ }=b^2+25+5b$。
2. $b^2+5b-24=0$，$b=3$（负根舍）。

✅【答案】

Success

$3$

✍【详细解析】

Abstract

由余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，其中 $a=BC=7$，$c=AB=5$，$\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$． 代入得 $49=b^2+25+5b$，即 $b^2+5b-24=0$，解得 $b=3$ 或 $b=-8$（舍）． 故 $AC=3$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理解三角形

核心方法：余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，代入解二次方程

避坑指南：$A=120^{\circ }$ 时 $\cos A=-\frac{1}{2}$，负号进式后变 $+bc$；解出负根要舍

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：余弦定理源于勾股定理的推广（教材必修五）

结论推广：已知两边与夹角求第三边是 SSA/SSS 判定外的标准可解型

方法推广：列式 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 后化二次方程，注意取正根

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷IV理-10 单-球的表面积公式
• 2020-新课标III文-11 单-解三角形