2001-上海文-17 解-余弦定理与三角形面积

本题导读

本题考查解三角形。核心在于由面积求角，再用余弦定理求边。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(文)） 已知 $a$、$b$、$c$ 是 $△ABC$ 中 $\angle A$、$\angle B$、$\angle C$ 的对边，$S$ 是 $△ABC$ 的面积，若 $a=4$，$b=5$，$S=5\sqrt{3}$，求 $c$ 的长度.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 求 $\sin C$。
2. 由 $\sin C$ 确定 $C$，再用余弦定理求 $c$。

✅【答案】

Success

$c=\sqrt{21}$ 或 $c=\sqrt{61}$

✍【详细解析】

Abstract

由三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C=10\sin C=5\sqrt{3}$，得 $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$．因为 $0<C<\pi$，所以 $C=\frac{\pi }{3}$ 或 $C=\frac{2\pi }{3}$．由余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=41-40\cos C$． 当 $C=\frac{\pi }{3}$ 时，$c^2=41-40\times \frac{1}{2}=21$，得 $c=\sqrt{21}$； 当 $C=\frac{2\pi }{3}$ 时，$c^2=41-40\times \left(-\frac{1}{2}\right)=61$，得 $c=\sqrt{61}$． 两个值均满足三角形三边关系（$4<5+\sqrt{21}$ 等），故 $c=\sqrt{21}$ 或 $c=\sqrt{61}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理与三角形面积

核心方法：$S=\frac{1}{2}ab\sin C=10\sin C=5\sqrt{3}$ 得 $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$C=\frac{\pi }{3}$ 或 $\frac{2\pi }{3}$；余弦定理 $c^2=41-40\cos C$，得 $c=\sqrt{21}$ 或 $\sqrt{61}$

避坑指南：面积定 $\sin C$，余弦定 $c$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材解三角形

结论推广：一般地，$S=\frac{1}{2}ab\sin C$，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

方法推广：面积定角 + 余弦定边

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2003-上海文-07 填-正余弦定理求角