2000-大纲文-08 单-两直线夹角的范围

本题导读

本题考查两直线的夹角，以及由夹角范围确定斜率范围。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(文)） 已知两条直线 $l_1:y=x$，$l_2:ax-y=0$，其中 $a$ 为实数．当这两条直线的夹角在 $\left(0,\frac{\pi }{12}\right)$ 内变动时，$a$ 的取值范围是()

A. $(0,1)$　　B. $\left(\frac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3}\right)$　　C. $\left(\frac{\sqrt{3}}{3},1\right)\cup \left(1,\sqrt{3}\right)$　　D. $(1,\sqrt{3})$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $l_1$ 斜率为 $1$，$l_2$ 斜率为 $a$。
2. 由夹角正切公式得 $\tan \theta =\left|\frac{a-1}{1+a}\right|$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

直线 $l_1:y=x$ 的斜率 $k_1=1$，直线 $l_2:ax-y=0$ 即 $y=ax$ 的斜率 $k_2=a$．两直线夹角 $\theta$ 满足 $\tan \theta =\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1{k}_2}\right|=\left|\frac{1-a}{1+a}\right|$（$a\ne -1$）．夹角 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{12}\right)$ 即 $\tan \theta \in (0,\tan \frac{\pi }{12})=(0,2-\sqrt{3})$．故 $0<\left|\frac{1-a}{1+a}\right|<2-\sqrt{3}$，解得 $a\in \left(\frac{\sqrt{3}}{3},1\right)\cup \left(1,\sqrt{3}\right)$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两直线夹角的范围

核心方法：$l_1$ 斜率 $1$，$l_2$ 斜率 $a$，夹角正切 $\tan \theta =\left|\frac{a-1}{1+a}\right|$，夹角在 $(0,\frac{\pi }{12})$ 内需 $\tan \theta <\tan \frac{\pi }{12}=2-\sqrt{3}$，解得 $a\in (\frac{\sqrt{3}}{3},1)\cup (1,\sqrt{3})$

避坑指南：夹角公式化斜率范围

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材两直线的夹角

结论推广：一般地，$\tan \theta =\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1{k}_2}\right|$

方法推广：夹角公式化斜率范围

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.06 到角公式与夹角公式

类题演练 (Links)

• 2004-浙江文-02 单-两直线夹角

专题合集 (Series)