1997-全国卷理-02 单-两直线平行求系数

本题导读

本题考查直线平行的条件，以及直线的一般式方程。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(理)） 如果直线 $ax+2y+2=0$ 与直线 $3x-y-2=0$ 平行，那么系数 $a=$ ()

A. $-3$　　　　　　B. $-6$　　　　　　C. $-\frac{3}{2}$　　　　　　　D. $\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

一般式平行条件：对于两条直线 $L_1:A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$ 与 $L_2:A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$，它们平行的充要条件是 $A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$ 且 $A_1{C}_2-A_2{C}_1\ne 0$（或 $B_1{C}_2-B_2{C}_1\ne 0$）。 构建方程：将已知直线的对应系数代入交叉相乘的公式，解出未知数 $a$，并验证其是否重合。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

根据平行条件列出代数方程 设直线 $L_1:ax+2y+2=0$，其系数为 $A_1=a,B_1=2,{\mathrm{C}}_1=2$。 设直线 $L_2:3x-y-2=0$，其系数为 $A_2=3,B_2=-1,{\mathrm{C}}_2=-2$。

若直线 $L_1\parallel L_2$，则它们的斜率相等且在 $y$ 轴上的截距不相等。 由系数比例关系满足： $A_1{B}_2-A_2{B}_1=0⟹a\cdot (-1)-3\cdot 2=0$

解得： $-a-6=0⟹a=-6$

检验是否重合 将 $a=-6$ 代入 $L_1$ 得 $-6x+2y+2=0⟹3x-y-1=0$。 此时 $L_1$ 对应的常数项为 $-1$，而 $L_2$ 的常数项为 $-2$，即 $\frac{-6}{3}=\frac{2}{-1}\ne \frac{2}{-2}$。 因此，两直线不重合，确实平行。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两条直线平行的代数判定；一般式系数交叉相乘公式。 核心方法：公式法（利用 $A_1{B}_2=A_2{B}_1$ 快速求解）。 避坑指南：使用斜率法（$k_1=k_2$）时，需注意确保直线的斜率确实存在（即 $B\ne 0$）；使用系数比例法时，应顺带验证常数项比例是否不等，以排除两直线重合的情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于典型的直线位置关系基础题，直接取材于高中解析几何教材中“两条直线平行与垂直的条件”课后练习题。 结论推广：在平面直角坐标系中，直线 $A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$ 与 $A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$ 平行且不重合的充要条件为：$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\ne \frac{C_1}{C_2}$（在分母均不为零的前提下）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2001-上海文-13 单-直线平行充要条件
• 1998-全国卷文-04 单-两直线垂直的充要条件
• 2000-大纲文-08 单-两直线夹角的范围