1998-全国卷文-04 单-两直线垂直的充要条件

本题导读

本题考查两直线垂直的充要条件，以及方向向量内积为零的判据。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(文)）两条直线 $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0$ 、 $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0$ 垂直的充要条件是()

A. $A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0$ 　　　　　　　　　　　　　　　　B. $A_{1} A_{2} - B_{1} B_{2} = 0$

C. $\frac{A _{1} A _{2}}{B _{1} B _{2}} = - 1$ 　　　　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{B _{1} B _{2}}{A _{1} A _{2}} = 1$

🔍【思路分析】

破题导航

取两直线的方向向量。

垂直 $⟺$ 方向向量内积为零。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

两条直线的方向向量可分别取 $(B_{1}, - A_{1})$ 和 $(B_{2}, - A_{2})$ 。两直线垂直的充要条件是方向向量的内积为零，因此 $B_{1} B_{2} + A_{1} A_{2} = 0$ ，即 $A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0$ ，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两直线垂直的充要条件

核心方法：两直线方向向量取 $(B_{1}, - A_{1})$ 、 $(B_{2}, - A_{2})$ ，内积为零得 $A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0$ ，选 A

避坑指南：方向向量内积为零

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材两直线的位置关系

结论推广：一般地， $l_{1} ⊥ l_{2} ⟺ A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0$

方法推广：方向向量内积为零

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

17.04 圆与圆的位置关系

类题演练 (Links)

2005-北京卷文-03 单-直线垂直充要条件

2006-福建文-01 单-两直线垂直求参

2011-浙江卷文-12 填-直线垂直求参

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1998-全国卷文-04 单-两直线垂直的充要条件

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