1998-上海文-16 单-直线的位置关系

本题导读

本题考查两直线的位置关系，以及结合正弦定理判断垂直。

📌【题干】

Question

（1998年上海卷(文)）设 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是 $△ A B C$ 中 $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 所对边的边长，则直线 $sin A \cdot x + a y + c = 0$ 与 $b x - sin B \cdot y + sin C = 0$ 的位置关系是()

A. 平行　　　　B. 重合　　　　C. 垂直　　　　D. 相交但不垂直

🔍【思路分析】

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写出两直线的系数。

用正弦定理判断 $A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2}$ 是否为零。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

直线 $l_{1}$ 的系数为 $(A_{1}, B_{1}) = (sin A, a)$ ，直线 $l_{2}$ 的系数为 $(A_{2}, B_{2}) = (b, - sin B)$ 。由正弦定理 $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B}$ ，得 $b sin A - a sin B = 0$ ，即 $A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = sin A \cdot b + a \cdot (- sin B) = b sin A - a sin B = 0$ 。因此两直线垂直，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线的位置关系

核心方法：由正弦定理 $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B}$ ，两直线系数满足 $A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = sin A \cdot b + a \cdot (- sin B) = b sin A - a sin B = 0$ ，故垂直，选 C

避坑指南：系数积和为零判垂直

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材直线与正弦定理

结论推广：一般地， $l_{1} ⊥ l_{2} ⟺ A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0$

方法推广：系数积和为零判垂直

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

1998-全国卷文-04 单-两直线垂直的充要条件

2005-江西卷文-08 单-正弦定理命题的充要条件

2006-福建文-01 单-两直线垂直求参

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1998-上海文-16 单-直线的位置关系

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