1988-广东理-10 单-弦中点轨迹方程

本题导读

本题考查抛物线焦点弦中点的轨迹方程。

📌【题干】

Question

（1988年广东卷(理)） 过抛物线 $y^2=4x$ 的焦点，作直线与此抛物线相交于两点 $P$ 和 $Q$，那么线段 $PQ$ 中点的轨迹的方程是()

A. $y^2=2x-1$　　　　　B. $y^2=2x-2$　　　　　C. $y^2=-2x+1$　　　　　D. $y^2=-2x+2$

🔍【思路分析】

破题导航

焦点 $(1,0)$，设中点 $M(x,y)$，用点差法或设直线 $x=ty+1$ 求中点轨迹。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=4x$ 焦点 $(1,0)$。设直线方程为 $x=ty+1$，代入 $y^2=4x$ 得 $y^2=4(ty+1)$，即 $y^2-4ty-4=0$，两根 $y_1,y_2$ 满足 $y_1+y_2=4t$。中点纵坐标 $y=\frac{y_1+y_2}{2}=2t$，横坐标 $x=ty+1=\frac{y}{2}\cdot y+1=\frac{y^2}{2}+1$，故轨迹 $y^2=2x-2$。选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：弦中点轨迹方程

核心方法：设中点坐标，用点差法或参数方程求轨迹 $y^2=2x-2$。

避坑指南：焦点 $(1,0)$，中点轨迹是抛物线内部。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：弦中点轨迹。

结论推广：点差法。

方法推广：焦点坐标。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.08 一般曲线与方程

类题演练 (Links)

• 1989-广东理-08 单-抛物线的标准方程
• 1989-广东理-25 单-二次方程表示两直线
• 1990-广东理-14 单-抛物线的准线与焦点