1988-全国卷理-11 单-充要条件

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定，以及三角形内角和定理。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(理)） 设命题甲： $△ABC$ 的一个内角为 $60^{\circ }$.命题乙： $△ABC$ 的三内角的度数成等差数列.那么 ()

A. 甲是乙的充分条件，但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件，但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 验证充分性（甲 $⟹$ 乙）：已知一个角为 $60^{\circ }$，另外两角和为 $120^{\circ }$，判断三个角是否一定成等差数列。
2. 验证必要性（乙 $⟹$ 甲）：三内角成等差数列，由等差中项 $2B=A+C$ 和内角和 $A+B+C=180^{\circ }$ 解出中间项，判断是否必为 $60^{\circ }$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：检验充分性（甲 $⟹$ 乙） 由命题甲，$△ABC$ 中有一个内角为 $60^{\circ }$。设三个内角为 $A,B,C$，不妨令 $B=60^{\circ }$。 由三角形内角和： $A+B+C=180^{\circ }⟹A+60^{\circ }+C=180^{\circ }⟹A+C=120^{\circ }\text{(1)}$

  不妨设 $A\le C$，由 ① 得 $A\le 60^{\circ }\le C$，三个角从小到大为： $A,60^{\circ },C\text{(2)}$

  相邻两项之差： $C-60^{\circ }=(120^{\circ }-A)-60^{\circ }=60^{\circ }-A\text{(3)}$ $60^{\circ }-A\text{(4)}$ 前后差相等，所以三个内角成等差数列。 因此甲 $⟹$ 乙 成立。

• 第二步：检验必要性（乙 $⟹$ 甲） 由命题乙，三内角 $A,B,C$ 成等差数列，由等差中项性质： $2B=A+C\text{⑤}$

  由三角形内角和： $A+B+C=180^{\circ }\text{⑥}$

  把 ⑤ 代入 ⑥： $(A+C)+B=180^{\circ }⟹2B+B=180^{\circ }⟹3B=180^{\circ }\text{⑦}$ 解得： $B=60^{\circ }\text{⑧}$

  所以三角形必有一个内角为 $60^{\circ }$，即乙 $⟹$ 甲 成立。

综上，甲与乙互为充要条件（甲 $⟺$ 乙）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充分条件与必要条件的判定、等差中项公式 $2a_2=a_1+a_3$、三角形内角和 180°。
2. 核心方法：双向推导法。
3. 避坑指南：
   • 不要凭直觉否定充分性：若觉得“一个角是 60° 的三角形千差万别，不一定成等差数列”，会误判充分性不成立而错选 B。应通过计算公差来判断。
   • 注意等差数列的顺序。命题乙说“三内角的度数成等差数列”，调整顺序后成等差即可；内角和为 180° 决定了中间项必为 60°。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1988 年全国高考理科卷第 11 题，考查逻辑用语与三角形、数列的结合。
2. 结论推广：三角形三个内角成等差数列的充要条件是有一个内角为 $60^{\circ }$。理由：由 $2B=A+C$ 与 $A+B+C=180^{\circ }$ 可得 $B=60^{\circ }$；反之亦然。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 1988-上海-14 单-充分必要条件判断
• 1990-广东文-19 单-充分必要条件判断
• 1990-广东理-17 单-充分必要条件判断