2006-四川文-03 单-导数求切线方程

本题导读

本题考查导数，以及切线方程。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(文)） 曲线 $y=4x-x^3$ 在点 $(-1,-3)$ 处的切线方程是()

A. $y=7x+4$　　　　B. $y=7x+2$　　　　C. $y=x-4$　　　　D. $y=x-2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y^{\prime }=4-3x^2$，在 $x=-1$ 处切点 $(-1,-3)$。
2. 斜率 $k=y^{\prime }{|}_{x=-1}=4-3\cdot 1=1$。
3. 切线 $y-(-3)=1\cdot (x-(-1))$，即 $y=x-2$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$y=4x-x^3$ 的导数为 $y^{\prime }=4-3x^2$． 在点 $(-1,-3)$ 处切线的斜率 $k=y^{\prime }{|}_{x=-1}=4-3\cdot (-1{)}^2=1.$ 由点斜式，切线方程为 $y-(-3)=1\cdot (x-(-1))$，即 $y=x-2$，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数求切线方程

核心方法：求导 $y^{\prime }=4-3x^2$，在 $x=-1$ 处 $k=1$，切线 $y+3=x+1$ 即 $y=x-2$

避坑指南：切线斜率是导数值而非直接代 $x$；切点 $(-1,-3)$ 在曲线上可直接点斜式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 导数的几何意义：切点处导数即切线斜率

结论推广: 切线方程 $y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$

方法推广: 求切线先求导数值（斜率），再点斜式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-07 单-切线平行定参
• 2008-江苏卷-08 填-切线求参数
• 2008-浙江文-21 解-三次函数切线最值
• 2009-北京文-18 解-导数切线与极值