2004-湖北理-01 单-导数的几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及平行直线的斜率关系。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(理)） 与直线 $2x-y+4=0$ 平行的抛物线 $y=x^2$ 的切线方程是 ()

A. $2x-y+3=0$　　　　　　　　　　　　　B. $2x-y-3=0$

C. $2x-y+1=0$　　　　　　　　　　　　　D. $2x-y-1=0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：已知切线与直线 $2x-y+4=0$ 平行，直线的斜率为 $k=2$，因此所求抛物线切线的斜率也必须严格等于 $2$。
2. 第二步逻辑：对抛物线 $y=x^2$ 求导得到 $y^{\prime }=2x$。利用切点处的导数值等于切线斜率，令 $2x=2$ 解出切点的横坐标，进而求得切点纵坐标。最后利用点斜式写出切线方程。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

• 由平行关系确定切线斜率： 已知基准直线方程为 $2x-y+4=0⟹y=2x+4$，其斜率为： $k=2$ 因为所求切线与该直线平行，所以切线的斜率也为 $2$。

• 利用导数工具求解切点坐标： 对抛物线 $y=x^2$ 进行求导： $y^{\prime }=2x$ 设切点坐标为 $P(x_0,y_0)$，则切点处的导数值等于切线斜率： $2x_0=2⟹x_0=1$ 将 $x_0=1$ 代入抛物线方程中，求得切点纵坐标： $y_0=1^2=1$ 故切点坐标为 $P(1,1)$。

• 利用点斜式确立切线方程： 根据点斜式公式，切线方程为： $y-1=2(x-1)⟹y-1=2x-2⟹2x-y-1=0$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义（曲线在某点处的导数即为切线斜率）；平行线斜率的传递性。
2. 核心方法：导数切点化归法。
3. 避坑指南：
   • 极易在计算点斜式移项展开时发生基本正负号变号马虎，导致在 (C) 和 (D) 选项间产生非技术性选择错误。
   • 亦可使用代数判别式法求解：设切线方程为 $y=2x+m$，联立 $y=x^2⟹x^2-2x-m=0$。令 $\Delta =(-2{)}^2-4\times 1\times (-m)=4+4m=0⟹m=-1$，直接得出 $y=2x-1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题改编自高中数学教材中“导数在研究函数中的应用”章节的开篇核心例题，属于常规低阶送分题。
2. 结论推广: 一般地，设与已知直线 $Ax+By+C=0$ ($B\ne 0$) 平行的抛物线 $y=\alpha x^2+\beta x+\gamma$ ($\alpha \ne 0$) 的切线方程，其切点横坐标受齐次导数方程 $2\alpha x_0+\beta =-\frac{A}{B}$ 的唯一确定。切线的常数偏置项可通过一维代数配凑或判别式 $\Delta =0$ 实现解析图形的完整闭合。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-03 单-导数求切线方程
• 2006-湖南文-19 解-三次函数单调与水平切线
• 2006-重庆文-19 解-导数切线与单调性