2006-湖南文-19 解-三次函数单调与水平切线

本题导读

本题考查三次函数的单调性与切线。核心在于导数与切线、单调性分析。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(文)） 已知函数 $f(x)=a{x}^3-3x^2+1-\frac{3}{a}$．

(1) 讨论函数 $f(x)$ 的单调性；

(2) 若曲线 $y=f(x)$ 上两点 $A$、$B$ 处的切线都与 $y$ 轴垂直，且线段 $AB$ 与 $x$ 轴有公共点，求实数 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. (1) $f^{\prime }(x)=3a{x}^2-6x=3x(ax-2)$，零点 $x=0$ 与 $x=\frac{2}{a}$（$a\ne 0$）。分 $a>0$、$a<0$ 列表定号。
2. (2) 切线与 $y$ 轴垂直 ⟺ 切线水平 ⟺ $f^{\prime }(x)=0$ ⟺ 切点横坐标 $x=0$ 或 $x=\frac{2}{a}$。
3. 两切点 $A\left(0,f(0)\right)$、$B\left(\frac{2}{a},f(\frac{2}{a})\right)$。$AB$ 与 $x$ 轴有公共点 ⟺ $f(0)\cdot f(\frac{2}{a})⩽0$（两端点纵坐标异号或其一为零；若同为正或同为负则线段不跨 $x$ 轴）。
4. $f(0)=1-\frac{3}{a}=\frac{a-3}{a}$；$f(\frac{2}{a})=1-\frac{4}{a^2}-\frac{3}{a}=\frac{a^2-3a-4}{a^2}=\frac{(a-4)(a+1)}{a^2}$。
5. 解 $(a-3)(a-4)(a+1)⩽0$ 分 $a>0$、$a<0$ 得 $a\in [-1,0)\cup [3,4]$。

✅【答案】

Success

(1) $a>0$ 时增区间 $(-\infty ,0)$、$\left(\frac{2}{a},+\infty \right)$，减区间 $\left(0,\frac{2}{a}\right)$；$a<0$ 时增区间 $\left(\frac{2}{a},0\right)$，减区间 $\left(-\infty ,\frac{2}{a}\right)$、$(0,+\infty )$

(2) $a\in [-1,0)\cup [3,4]$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f^{\prime }(x)=3a{x}^2-6x=3x(ax-2)$（$a\ne 0$，否则 $f$ 为二次函数与题设不符）． ① 当 $a>0$ 时，$f^{\prime }(x)=0$ 的根为 $x=0$ 与 $x=\frac{2}{a}>0$： $x<0$ 时 $f^{\prime }(x)>0$；$0<x<\frac{2}{a}$ 时 $f^{\prime }(x)<0$；$x>\frac{2}{a}$ 时 $f^{\prime }(x)>0$． 故增区间 $(-\infty ,0)$、$\left(\frac{2}{a},+\infty \right)$，减区间 $\left(0,\frac{2}{a}\right)$． ② 当 $a<0$ 时，$\frac{2}{a}<0$： $x<\frac{2}{a}$ 时 $f^{\prime }(x)<0$；$\frac{2}{a}<x<0$ 时 $f^{\prime }(x)>0$；$x>0$ 时 $f^{\prime }(x)<0$． 故增区间 $\left(\frac{2}{a},0\right)$，减区间 $\left(-\infty ,\frac{2}{a}\right)$、$(0,+\infty )$．

（2）切线与 $y$ 轴垂直 ⟺ 切线水平 ⟺ 切点处 $f^{\prime }(x)=0$，即切点横坐标 $x=0$ 或 $x=\frac{2}{a}$． 两切点为 $A\left(0,f(0)\right)$、$B\left(\frac{2}{a},f\left(\frac{2}{a}\right)\right)$，其中 $f(0)=1-\frac{3}{a}=\frac{a-3}{a},f\left(\frac{2}{a}\right)=\frac{8}{a^2}-\frac{12}{a^2}+1-\frac{3}{a}=1-\frac{4}{a^2}-\frac{3}{a}=\frac{(a-4)(a+1)}{a^2}.$ 线段 $AB$ 与 $x$ 轴有公共点 ⟺ $f(0)\cdot f\left(\frac{2}{a}\right)⩽0$，即 $\frac{(a-3)(a-4)(a+1)}{a^3}⩽0.$ ① 当 $a>0$ 时，等价于 $(a-3)(a-4)(a+1)⩽0$，结合 $a>0$ 解得 $3⩽a⩽4$； ② 当 $a<0$ 时，$\frac{a-3}{a}>0$ 恒成立，故只需 $(a-4)(a+1)⩽0$，即 $-1⩽a⩽4$，结合 $a<0$ 解得 $-1⩽a<0$． 综上，$a$ 的取值范围是 $[-1,0)\cup [3,4]$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数单调与水平切线

核心方法：$f^{\prime }(x)=3x(ax-2)$，分 $a>0$、$a<0$ 讨论；水平切线在 $x=0,\frac{2}{a}$ 处，$f(0)f(\frac{2}{a})⩽0$ 解得 $a\in [-1,0)\cup [3,4]$

避坑指南：$a=0$ 时 $f$ 是二次函数舍去；$AB$ 与 $x$ 轴有公共点 ⟺ 两切点纵坐标异号或其一为零

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 三次函数含参单调与水平切线，导数综合

结论推广: $f^{\prime }(x)=3x(ax-2)$ 分类；切点纵坐标异号定参数

方法推广: 水平切线 ⟺ 导数为零的根；两点连线与 $x$ 轴相交看纵坐标符号

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.04 三次函数性质全总结
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-17 解-奇函数定参与三次函数单调
• 2008-大纲Ⅰ文-21 解-导数单调性含参
• 2008-大纲Ⅱ文-21 解-三次函数极值与最值恒成立
• 2008-大纲Ⅱ文-07 单-切线平行定参