2004-全国卷IV文-19 解-切线垂直与三角形面积

本题导读

本题考查导数的几何意义与切线垂直。核心在于由两切线垂直定切点，再求围成三角形的面积。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(文)） 已知直线 $l_1$ 为曲线 $y=x^2+x-2$ 在点 $(1,0)$ 处的切线，$l_2$ 为该曲线的另一条切线，且 $l_1\perp l_2$.

(1) 求直线 $l_2$ 的方程；

(2) 求由直线 $l_1$、$l_2$ 和 $x$ 轴所围成的三角形的面积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y^{\prime }=2x+1$，$l_1$ 斜率 $3$，$l_1:y=3x-3$。
2. 设 $l_2$ 切于 $(t,t^2+t-2)$，斜率 $2t+1$，$3(2t+1)=-1$。
3. 解 $t$，写 $l_2$，求交点与面积。

✅【答案】

Success

(1) $3x+9y+22=0$

(2) $\frac{125}{12}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$y^{\prime }=2x+1$，$l_1$ 斜率为 $3$，方程为 $y=3x-3$.设 $l_2$ 与曲线相切于 $(t,t^2+t-2)$，斜率为 $2t+1$，由 $l_1\perp l_2$ 得 $3(2t+1)=-1$，解得 $t=-\frac{2}{3}$.切点处切线方程为 $y=(2t+1)x-t^2-2$，代入 $t=-\frac{2}{3}$ 得 $l_2:y=-\frac{1}{3}x-\frac{22}{9}$，即 $3x+9y+22=0$. （2）$l_1$ 与 $x$ 轴交于 $(1,0)$，$l_2$ 与 $x$ 轴交于 $\left(-\frac{22}{3},0\right)$.联立 $y=3x-3$ 与 $y=-\frac{1}{3}x-\frac{22}{9}$ 得交点 $\left(\frac{1}{6},-\frac{5}{2}\right)$.所围三角形底边长为 $1+\frac{22}{3}=\frac{25}{3}$，高为 $\frac{5}{2}$，面积为 $\frac{1}{2}\times \frac{25}{3}\times \frac{5}{2}=\frac{125}{12}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：切线垂直与三角形面积
2. 核心方法：$y^{\prime }=2x+1$，$l_1$ 斜率 $3$、$y=3x-3$；$l_2$ 切于 $(t,t^2+t-2)$，$3(2t+1)=-1$，$t=-\frac{2}{3}$，$l_2:y=-\frac{1}{3}x-\frac{22}{9}$ 即 $3x+9y+22=0$；交 $x$ 轴 $(1,0),(-\frac{22}{3},0)$，两线交 $\left(\frac{1}{6},-\frac{5}{2}\right)$，面积 $\frac{1}{2}\cdot \frac{25}{3}\cdot \frac{5}{2}=\frac{125}{12}$
3. 避坑指南：$l_1\perp l_2$ 用斜率积 $-1$：$3(2t+1)=-1$；切点处 $l_2$ 方程 $y=(2t+1)x-t^2-2$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于导数的几何意义，教材”导数在研究函数中的应用”
2. 结论推广: 一般化：两切线垂直用斜率积 $-1$，交点与 $x$ 轴截距求三角形面积；$l_1\perp l_2$ 定切点，再求切线、截距、交点算面积

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2005-重庆卷文-12 填-切线围成三角形面积
• 2006-四川文-03 单-导数求切线方程
• 2008-陕西文-21 解-抛物线切线与向量垂直