2004-湖南文-13 填-导数求切线

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及利用切线斜率求平行线方程。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(文)） 过点 $P(-1,2)$ 且与曲线 $y=3x^2-4x+2$ 在点 $M(1,1)$ 处的切线平行的直线方程是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y^{\prime }=6x-4$，在 $M(1,1)$ 处切线斜率 $k=2$。
2. 过 $P(-1,2)$ 斜率为 $2$ 的直线 $y-2=2(x+1)$。
3. 整理得 $2x-y+4=0$。

✅【答案】

Success

$2x-y+4=0$

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=3x^2-4x+2$ 求导得 $y^{\prime }=6x-4$，在点 $M(1,1)$ 处切线的斜率为 $6\times 1-4=2$.与切线平行的直线斜率也为 $2$，又过点 $P(-1,2)$，由点斜式得 $y-2=2(x+1)$，整理得 $2x-y+4=0$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数求切线
2. 核心方法：$y^{\prime }=6x-4$，在 $M(1,1)$ 处切线斜率 $2$；过 $P(-1,2)$ 斜率为 $2$ 的直线 $y-2=2(x+1)$，即 $2x-y+4=0$
3. 避坑指南：先求导代点得切线斜率；平行线斜率相等，用点斜式过 $P(-1,2)$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于导数求切线，教材”导数”
2. 结论推广: 一般化：曲线 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处切线斜率 $f^{\prime }(x_0)$；求导代点得斜率，点斜式写平行线

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷III文-15 填-曲线在某点切线方程
• 2004-全国卷II文-03 单-三次函数切线方程
• 2006-四川文-03 单-导数求切线方程