2004-重庆文-15 填-导数求切线方程

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及过曲线上一点的切线方程的求解。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(文)） 已知曲线 $y=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{4}{3}$，则过点 $P(2,4)$ 的切线方程是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y^{\prime }=x^2$，在 $P(2,4)$ 处斜率 $4$。
2. 点 $P(2,4)$ 在曲线上（$\frac{1}{3}\cdot 8+\frac{4}{3}=4$）。
3. 切线 $y-4=4(x-2)$，即 $y-4x+4=0$。

✅【答案】

Success

$y-4x+4=0$

✍【详细解析】

Abstract

对曲线求导得 $y^{\prime }=x^2$，在点 $P(2,4)$ 处切线斜率 $k=2^2=4$.又 $P(2,4)$ 在曲线上（$\frac{1}{3}\cdot 2^3+\frac{4}{3}=4$），由点斜式得切线方程 $y-4=4(x-2)$，整理得 $y-4x+4=0$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数求切线方程
2. 核心方法：$y^{\prime }=x^2$，在 $P(2,4)$ 处斜率 $4$，切线 $y-4=4(x-2)$，即 $y-4x+4=0$
3. 避坑指南：点 $P(2,4)$ 恰在曲线上（$4=\frac{1}{3}\cdot 8+\frac{4}{3}$）；求导代点得斜率，用点斜式

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于导数的几何意义，教材”导数”
2. 结论推广: 一般化：曲线 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处切线斜率 $f^{\prime }(x_0)$；求导代点得斜率，点斜式写切线

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2004-湖南文-13 填-导数求切线
• 2004-全国卷II文-03 单-三次函数切线方程
• 2005-全国卷III文-15 填-曲线在某点切线方程