2005-重庆卷文-12 填-切线围成三角形面积

本题导读

本题考查切线方程与直线围成三角形面积的计算。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(文)） 曲线 $y=x^3$ 在点 $(1,1)$ 处的切线与 $x$ 轴、直线 $x=2$ 所围成的三角形的面积为$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y^{\prime }=3x^2$，$y^{\prime }(1)=3$，切线 $y=3x-2$。
2. 交 $x$ 轴于 $\left(\frac{2}{3},0\right)$，交 $x=2$ 于 $(2,4)$。
3. 底 $2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$，高 $4$，面积 $\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot 4=\frac{8}{3}$。

✅【答案】

Success

$\frac{8}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

$y^{\prime }=3x^2$，切线斜率 $k=3$，切线方程为 $y-1=3(x-1)$，即 $y=3x-2$．切线交 $x$ 轴于 $\left(\frac{2}{3},0\right)$，交直线 $x=2$ 于 $(2,4)$．三角形第三个顶点为 $(2,0)$，底边长 $2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$，高为 $4$，故面积 $S=\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}\times 4=\frac{8}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：切线围成三角形面积

核心方法：切线 $y=3x-2$：交 $x$ 轴 $\left(\frac{2}{3},0\right)$、交 $x=2$ 于 $(2,4)$，面积 $\frac{1}{2}\cdot \left(2-\frac{2}{3}\right)\cdot 4=\frac{8}{3}$

避坑指南：三角形顶点是切线与 $x=2$ 交点、切线与 $x$ 轴交点、$(2,0)$——底在 $x$ 轴上、高是纵坐标 4

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 1-1 导数几何意义

结论推广：$y^{\prime }{|}_{x=1}=3$，切线 $y=3x-2$，三角形面积 $\frac{8}{3}$

方法推广：切线与两直线围三角形：求三交点，底×高除 2；注意 $x=2$ 是竖直线，高取纵坐标

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷III文-15 填-曲线在某点切线方程
• 2005-全国卷I文-12 单-圆的切线斜率
• 2005-北京卷文-05 单-圆的切线夹角