2005-北京卷文-05 单-圆的切线夹角

本题导读

本题考查圆的标准方程与圆的切线。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(文)） 从原点向圆 $x^2+y^2-12y+27=0$ 作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为()

A. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　D. $\frac{2\pi }{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆的标准方程 $x^2+(y-6{)}^2=9$，圆心 $C(0,6)$，半径 $r=3$，$OC=6$。
2. 切线垂直半径：$\sin \angle COT=\frac{CT}{OC}=\frac{1}{2}$，得 $\angle COT=30^{\circ }$。
3. 两条切线关于 $OC$ 对称，夹角为 $2\times 30^{\circ }=60^{\circ }=\frac{\pi }{3}$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

将圆的方程化为 $x^2+(y-6{)}^2=9$，所以圆心为 $C(0,6)$，半径为 $3$，且 $OC=6$． 设一条切线与圆相切于 $T$，则 $CT\perp OT$．在直角三角形 $OCT$ 中，$\sin \angle COT=\frac{CT}{OC}=\frac{1}{2}$，故 $\angle COT=30^{\circ }$． 两条切线关于 $OC$ 对称，夹角为 $2\angle COT=60^{\circ }=\frac{\pi }{3}$，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的切线夹角

核心方法：半径、圆心距构造直角三角形

避坑指南：$\sin \angle COT=\frac{r}{OC}=\frac{1}{2}$ 得半角 $30^{\circ }$，两切线关于 $OC$ 对称，夹角 $60^{\circ }=\frac{\pi }{3}$；切线夹角是两线的夹角，别只算半角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆的切线性质（人教 A 版必修二）

结论推广：圆外一点引两条切线，关于该点与圆心连线对称，夹角 $=2\arcsin \frac{r}{d}$

方法推广：半径与切线垂直构造直角三角形，是切线问题的基本模型

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III理-05 单-双曲线
• 2020-新课标III文-16 填-几何体体积