2004-全国卷I文-15 填-切线角定轨迹方程

本题导读

本题考查圆的切线性质，以及动点轨迹方程的求法。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(文)） 由动点 $P$ 向圆 $x^2+y^2=1$ 引两条切线 $PA$、$PB$，切点分别为 $A$、$B$，$\angle APB=60^{\circ }$，则动点 $P$ 的轨迹方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $OP$ 平分 $\angle APB$，$\angle APO=30^{\circ }$。
2. $OA\perp PA$，$|OP|=\frac{|OA|}{\sin 30^{\circ }}=2$。
3. $P$ 到原点距离恒为 2。

✅【答案】

Success

$x^2+y^2=4$

✍【详细解析】

Abstract

由切线性质 $OA\perp PA$，$|OA|=1$（半径）．$OP$ 平分 $\angle APB$，故 $\angle APO=30^{\circ }$.在 $\mathrm{Rt}△OAP$ 中，$|OP|=\frac{|OA|}{\sin 30^{\circ }}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$.即动点 $P$ 到原点的距离恒为 2，轨迹是以原点为圆心、半径为 2 的圆，方程为 $x^2+y^2=4$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：切线角定轨迹方程
2. 核心方法：$OP$ 平分 $\angle APB$，$\angle APO=30^{\circ }$；$OA\perp PA$，$|OP|=\frac{|OA|}{\sin 30^{\circ }}=2$，轨迹 $x^2+y^2=4$
3. 避坑指南：切线长 $OA\perp PA$，$△OAP$ 中 $30^{\circ }$ 角对边为半径——$|OP|=2$ 为定值，轨迹是以 $O$ 为圆心半径 2 的圆

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于圆的切线与轨迹，教材”直线与圆”切线的几何性质
2. 结论推广: 一般化：动点到圆引定角切线，$|OP|=\frac{r}{\sin \frac{\theta }{2}}$ 为定值，轨迹为同心圆；用直角三角形中 $30^{\circ }$ 角定 $|OP|$，轨迹是同心圆

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练 (Links)

• 2007-四川文-15 填-等切线长轨迹方程
• 2005-北京卷文-05 单-圆的切线夹角
• 2005-全国卷I文-12 单-圆的切线斜率