2001-上海文-03 填-相关点法求轨迹方程

本题导读

本题考查相关点法求轨迹方程，以及双曲线的方程。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(文)） 设 $P$ 为双曲线 $\frac{x^2}{4}-y^2=1$ 上一动点，$O$ 为坐标原点，$M$ 为线段 $OP$ 的中点，则点 $M$ 的轨迹方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $M(x,y)$，则 $P(2x,2y)$。
2. 代入双曲线方程消去 $P$ 的坐标。

✅【答案】

Success

$x^2-4y^2=1$

✍【详细解析】

Abstract

设动点 $M(x,y)$，因 $M$ 是 $OP$ 的中点，故 $P(2x,2y)$．又 $P$ 在双曲线上，代入 $\frac{(2x{)}^2}{4}-(2y{)}^2=1$，得 $\frac{4x^2}{4}-4y^2=1$，即 $x^2-4y^2=1$，这就是点 $M$ 的轨迹方程．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相关点法求轨迹方程

核心方法：设 $M(x,y)$，则 $P(2x,2y)$，代入 $\frac{x_P^2}{4}-y_P^2=1$ 得 $\frac{4x^2}{4}-4y^2=1$，即 $x^2-4y^2=1$

避坑指南：相关点代换消参

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材轨迹方程的求法

结论推广：一般地，相关点法求轨迹：设动点、用关系代回原方程

方法推广：相关点代换消参

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-17 单-中点轨迹方程
• 2004-全国卷I文-15 填-切线角定轨迹方程
• 2009-新课标Ⅰ文-20 解-椭圆方程与相关点轨迹