2004-广东卷理-19 解-绝对值函数的图象与分段性质

本题导读

本题考查导数的几何意义与切线方程。核心在于分段脱绝对值代数化归法、导数工具切线构造法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年广东卷(理)） 设函数 $f(x)=\left|1-\frac{1}{x}\right|$ ($x>0$).

(1) 证明：当 $0<a<b$，且 $f(a)=f(b)$ 时， $ab>1$；

(2) 点 $P(x_0,y_0)$ ($0<x_0<1$) 在曲线 $y=f(x)$ 上，求曲线在点 $P$ 处的切线与 $x$ 轴和 $y$ 轴的正向所围成的三角形面积表达式（用 $x_0$ 表达）.

🔍【思路分析】

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1. 第一问逻辑：对函数进行分段化简。由 $1-\frac{1}{x}=0⟹x=1$ 可知：当 $0<x<1$ 时， $1-\frac{1}{x}<0$， $f(x)=\frac{1}{x}-1$；当 $x\ge 1$ 时， $1-\frac{1}{x}\ge 0$， $f(x)=1-\frac{1}{x}$。因为在各自区间内函数均单调，若 $a<b$ 且 $f(a)=f(b)$，则 $a,b$ 必然分别分布在 1 的两侧，即 $0<a<1<b$。代入分段解析式建立等式 $\frac{1}{a}-1=1-\frac{1}{b}$，变形即可证明 $ab>1$。
2. 第二问逻辑：已知 $0<x_0<1$，在此区间内函数解析式为 $f(x)=\frac{1}{x}-1$。对其求导得到切线斜率 $k=f^{\prime }(x_0)$，从而写出点斜式切线方程。令 $y=0$ 和 $x=0$ 分别求出切线在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距，结合“与正向围成”的含义，确保截距均为正数，最后代入直角三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}{X}_{\text{截}}{Y}_{\text{截}}$ 化简。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) 切线与 $y$ 轴、$x$ 轴正半轴的交点分别为 $\left(0,\frac{2}{x_0}-1\right)$、$\left(x_0(2-x_0),0\right)$，所围三角形面积 $S=\frac{(2-x_0{)}^2}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

• （1）证明：当 $0<a<b$，且 $f(a)=f(b)$ 时， $ab>1$： 将函数 $f(x)=\left|1-\frac{1}{x}\right|$ 分段脱去绝对值： $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}-1,& 0<x<1\\ 1-\frac{1}{x},& x\ge 1\end{array}$ 由上式可知， $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上是严格单调递减的，在 $[1,+\infty )$ 上是严格单调递增的。 因为 $0<a<b$，且 $f(a)=f(b)$，根据单调性分布规律， $a$ 与 $b$ 绝不可能在同一个单调分支上，必满足： $0<a<1<b$ 分别代入对应的分段了解析式中，由 $f(a)=f(b)$ 建立等式： $\frac{1}{a}-1=1-\frac{1}{b}$ 移项合并同类项： $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2⟹\frac{a+b}{ab}=2⟹a+b=2ab\text{（式1）}$ 由均值不等式（由于 $a\ne b$，等号不成立）满足： $a+b>2\sqrt{ab}\text{（式2）}$ 将（式1）代入（式2）的左侧： $2ab>2\sqrt{ab}⟹ab>\sqrt{ab}$ 两边同时平方（因为 $ab>0$）： $(ab{)}^2>ab⟹ab>1$ 原命题得证。

• （2）求曲线在点 $P$ 处的切线与坐标轴正向所围成的三角形面积表达式： 因为 $0<x_0<1$，在此区间内，曲线的函数解析式为： $y=\frac{1}{x}-1$ 将点 $P(x_0,y_0)$ 代入函数中，其纵坐标为： $y_0=\frac{1}{x_0}-1\text{（式3）}$

  对函数进行求导，计算切线斜率函数： $y^{\prime }={\left(\frac{1}{x}-1\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$ 则切线在点 $P(x_0,y_0)$ 处的斜率 $k$ 为： $k=-\frac{1}{x_0^2}$

  根据点斜式公式，写出切线的直线方程： $y-y_0=-\frac{1}{x_0^2}(x-x_0)$ 将（式3）的 $y_0$ 代入方程中： $y-\left(\frac{1}{x_0}-1\right)=-\frac{1}{x_0^2}x+\frac{1}{x_0}$ 整理可得切线方程为： $\frac{1}{x_0^2}x+y=\frac{2}{x_0}-1\text{（式4）}$

  求切线与两坐标轴的截距：

  1. 求 $y$ 轴截距：令 $x=0$，代入（式4）解得： $Y_{\text{截}}=\frac{2}{x_0}-1=\frac{2-x_0}{x_0}$ 因为 $0<x_0<1⟹2-x_0>0$，故 $Y_{\text{截}}>0$，属于 $y$ 轴正半轴。
  2. 求 $x$ 轴截距：令 $y=0$，代入（式4）解得： $\frac{1}{x_0^2}x=\frac{2-x_0}{x_0}⟹x=x_0^2\cdot \frac{2-x_0}{x_0}⟹X_{\text{截}}=x_0(2-x_0)$ 因为 $0<x_0<1⟹2-x_0>0$，故 $X_{\text{截}}>0$，属于 $x$ 轴正半轴。

  由于切线与 $x$ 轴、 $y$ 轴的正向围成三角形，三角形的底和高分别为两正截距。 则所围成的三角形面积表达式为： $S=\frac{1}{2}\cdot X_{\text{截}}\cdot Y_{\text{截}}=\frac{1}{2}\cdot \left[x_0(2-x_0)\right]\cdot \left[\frac{2-x_0}{x_0}\right]$ 约去分子分母中的非零公共因子 $x_0$： $S=\frac{1}{2}(2-x_0{)}^2(0<x_0<1)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值函数的分段化简方法；利用导数在某点处的值确定切线斜率；直线截距式或点斜式方程的求法。
2. 核心方法：分段讨论法、导数切线法。
3. 避坑指南：
   • 第一问中由 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2$ 证明 $ab>1$ 时，除了使用均值不等式法，亦可使用消元法： $b=\frac{a}{2a-1}$，由 $b>1⟹\frac{a}{2a-1}>1⟹2a-1<a⟹a>\frac{1}{2}$。从而 $ab=\frac{a^2}{2a-1}$，对其求导或构造即可证其在 $\left(\frac{1}{2},1\right)$ 上大于 1。
   • 第二问求导时必须严格对应 $0<x_0<1$ 所在的分支。如果不看区间直接对原式盲目求导，极易将斜率符号算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 绝对值函数的图象与分段性质，考查去绝对值后的分段讨论与图象应用。
2. 结论推广: 处理含绝对值的函数，先按绝对值内表达式的零点分段去绝对值，化为分段函数后再讨论单调性、最值与图象特征。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2005-重庆卷文-12 填-切线围成三角形面积
• 1981-全国文-09 解-抛物线与直线的弦长及面积
• 1988-上海-21 解-直线围成的三角形面积