2005-重庆卷文-08 单-二项式系数的倍数关系

本题导读

本题考查二项式展开式中特定项系数的倍数关系。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(文)） 若 $(1+2x{)}^n$ 展开式中含 $x^3$ 项的系数等于含 $x$ 项的系数的 8 倍，则 $n$ 等于()

A. $5$　　　　　　　B. $7$　　　　　　　C. $9$　　　　　　　D. $11$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x^3$ 项系数 ${\mathrm{C}}_n^3{2}^3$，$x$ 项系数 ${\mathrm{C}}_n^{1}2$。
2. 列式 ${\mathrm{C}}_n^3\cdot 2^3=8\left({\mathrm{C}}_n^1\cdot 2\right)$，化简 ${\mathrm{C}}_n^3=2{\mathrm{C}}_n^1$。
3. $\frac{n(n-1)(n-2)}{6}=2n\Rightarrow (n-1)(n-2)=12\Rightarrow n=5$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

$(1+2x{)}^n$ 展开式的通项为 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r(2x{)}^r$．含 $x^3$ 项的系数为 ${\mathrm{C}}_n^3\cdot 2^3=8{\mathrm{C}}_n^3$；含 $x$ 项的系数为 ${\mathrm{C}}_n^1\cdot 2=2n$．由题意 $8{\mathrm{C}}_n^3=8\times 2n$，即 ${\mathrm{C}}_n^3=2n$，故 $\frac{n(n-1)(n-2)}{6}=2n$，即 $(n-1)(n-2)=12$，解得 $n=5$（舍去负根），选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式系数的倍数关系

核心方法：${\mathrm{C}}_n^3{2}^3=8{\mathrm{C}}_n^{1}2$，即 ${\mathrm{C}}_n^3={\mathrm{C}}_n^1$，$n=5$

避坑指南：$x^3$ 项系数 ${\mathrm{C}}_n^3{2}^3$、$x$ 项系数 ${\mathrm{C}}_n^{1}2$；“8 倍”关系列式后约去 $2^3$ 得 ${\mathrm{C}}_n^3={\mathrm{C}}_n^1$——解 $n$ 别忘验证

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 2-3 二项式定理

结论推广：${\mathrm{C}}_n^3{2}^3=8{\mathrm{C}}_n^{1}2\Rightarrow {\mathrm{C}}_n^3={\mathrm{C}}_n^1\Rightarrow n=5$

方法推广：系数倍数关系先写出两项系数再化简；${\mathrm{C}}_n^3={\mathrm{C}}_n^1$ 解 $\frac{n(n-1)(n-2)}{6}=n$

🔗【关联脉络】

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