2005-浙江卷文-05 单-二项式定理指定项系数

本题导读

本题考查二项式定理指定项系数的求法，以及两个幂的代数和中间项系数的处理。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(文)） 在 $(1-x{)}^5-(1-x{)}^6$ 的展开式中，含 $x^3$ 的项的系数是()

A. $-5$　　　　　　　B. $5$　　　　　　　C. $-10$　　　　　　　D. $10$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分别写出两展开式中 $x^3$ 的系数。
2. 作差，注意 $(1-x{)}^6$ 整体带负号。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$(1-x{)}^5$ 中含 $x^3$ 的项为 ${\mathrm{C}}_5^3(-x{)}^3=-10x^3$；$(1-x{)}^6$ 中含 $x^3$ 的项为 ${\mathrm{C}}_6^3(-x{)}^3=-20x^3$．因此原式中含 $x^3$ 的项的系数为 $-10-(-20)=10$，故选 D 注：部分网络版参考答案误印为 C（$-10$），系漏减 $(1-x{)}^6$ 的系数，此处按复算与官方答案册录 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理指定项系数

核心方法：分别写出两个展开式的 $x^3$ 项后作差

避坑指南：$(1-x{)}^6$ 展开后整体带负号，$x^3$ 项系数 $-20$ 再取负得 $+20$；漏掉外层负号就得 $-30$ 或 $-10$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 2-3 计数原理（二项式定理）

结论推广：$(1-x{)}^n$ 中 $x^k$ 系数为 $(-1{)}^k{\mathrm{C}}_n^k$；多项式代数和的系数对应项相加减

方法推广：两个二项式加减求指定项系数，先各写通项再合并，切勿把幂次对错位

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-05 单-二项式定理
• 2010-大纲Ⅰ文-05 单-二项式系数
• 2018-全国卷I理-05 单-函数奇偶性