2006-山东文-10 单-二项式系数比定n

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(文)） 已知 ${\left(x^2-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^n$ 的展开式中第三项与第五项的系数之比为 $\frac{3}{14}$，则展开式中常数项是 ()

A. $-1$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $-45$　　　　　　　D. $45$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k(x^2{)}^{n-k}{\left(-x^{-1/2}\right)}^k=(-1{)}^k{\mathrm{C}}_n^k{x}^{\frac{4n-5k}{2}}$。
2. 第三、五项对应 $k=2,4$，符号相同：$\frac{{\mathrm{C}}_n^2}{{\mathrm{C}}_n^4}=\frac{3}{14}$，即 $\frac{12}{(n-2)(n-3)}=\frac{3}{14}$，$n=10$。
3. 常数项 $\frac{4n-5k}{2}=0\Rightarrow k=8$，值为 $(-1{)}^8{\mathrm{C}}_{10}^8=45$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

展开式的第 $k+1$ 项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k(x^2{)}^{n-k}{\left(-x^{-1/2}\right)}^k=(-1{)}^k{\mathrm{C}}_n^k{x}^{\frac{4n-5k}{2}}$。 第三项和第五项分别对应 $k=2$ 和 $k=4$，二者符号相同，所以 $\frac{{\mathrm{C}}_n^2}{{\mathrm{C}}_n^4}=\frac{3}{14}$， 即 $\frac{12}{(n-2)(n-3)}=\frac{3}{14}$，因而 $(n-2)(n-3)=56$，解得 $n=10$。 要得到常数项，须使 $\frac{4n-5k}{2}=0$，所以 $k=\frac{4n}{5}=8$。 此时常数项为 $(-1{)}^8{\mathrm{C}}_{10}^8={\mathrm{C}}_{10}^2=45$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式系数比定n

核心方法：系数比列方程定n

避坑指南：$\frac{{\mathrm{C}}_n^2}{{\mathrm{C}}_n^4}=\frac{3}{14}\Rightarrow \frac{12}{(n-2)(n-3)}=\frac{3}{14}\Rightarrow n=10$；常数项 $k=\frac{4n}{5}=8$，${\mathrm{C}}_{10}^8=45$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自二项式系数比定 n，指定项综合题

结论推广: 系数比方程推广到任意两项比

方法推广: 先定 n 再求指定项，两步走

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-12 填-二项式常数项与系数和
• 2008-江西文-08 单-二项式定理常数项