2005-重庆卷文-02 单-积化和差求三角函数值

本题导读

本题考查平方差结构与二倍角公式的综合。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(文)） $\left(\cos \frac{\pi }{12}-\sin \frac{\pi }{12}\right)\left(\cos \frac{\pi }{12}+\sin \frac{\pi }{12}\right)=$()

A. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　B. $-\frac{1}{2}$　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 平方差：${\cos }^2\frac{\pi }{12}-{\sin }^2\frac{\pi }{12}$。
2. 二倍角：$=\cos \frac{\pi }{6}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

原式 $={\cos }^2\frac{\pi }{12}-{\sin }^2\frac{\pi }{12}=\cos \left(2\times \frac{\pi }{12}\right)=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：积化和差求三角函数值

核心方法：平方差 $(\cos \frac{\pi }{12}-\sin \frac{\pi }{12})(\cos \frac{\pi }{12}+\sin \frac{\pi }{12})={\cos }^2\frac{\pi }{12}-{\sin }^2\frac{\pi }{12}=\cos \frac{\pi }{6}$

避坑指南：平方差后是二倍角公式 $\cos 2\theta$，不是 ${\cos }^2-{\sin }^2$ 展开硬算——$\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 4 二倍角公式

结论推广：${\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =\cos 2\theta$，$\theta =\frac{\pi }{12}$ 时值 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

方法推广：乘积式先看平方差结构，再用降幂或二倍角——$\cos \frac{\pi }{6}$ 是特殊角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2008-浙江文-12 填-诱导二倍角
• 2010-大纲Ⅱ文-03 单-诱导二倍角求值
• 2005-全国卷III文-08 单-二倍角恒等化简