2005-全国卷III文-08 单-二倍角恒等化简

本题导读

本题考查二倍角公式与同角三角函数关系。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(文)） $\frac{2\sin 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }\cdot \frac{{\cos }^2\alpha }{\cos 2\alpha }=$()

A. $\tan \alpha$　　　　　　　B. $\tan 2\alpha$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用 $1+\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha$。
2. $\frac{2\sin 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }\cdot \frac{{\cos }^2\alpha }{\cos 2\alpha }=\frac{2\sin 2\alpha }{2{\cos }^2\alpha }\cdot \frac{{\cos }^2\alpha }{\cos 2\alpha }$。
3. 约分得 $\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }=\tan 2\alpha$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

在原式有意义的条件下，利用 $1+\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha$，得 $\frac{2\sin 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }\cdot \frac{{\cos }^2\alpha }{\cos 2\alpha }=\frac{2\sin 2\alpha }{2{\cos }^2\alpha }\cdot \frac{{\cos }^2\alpha }{\cos 2\alpha }=\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }=\tan 2\alpha$． 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角恒等化简

核心方法：$\frac{2\sin 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }\cdot \frac{{\cos }^2\alpha }{\cos 2\alpha }=\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }=\tan 2\alpha$

避坑指南：用 $1+\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha$ 约分；结果 $\tan 2\alpha$，别写成 $\tan \alpha$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二倍角恒等化简是常规题

结论推广：$1+\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha$

方法推广：逐步约分化为单角正切

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2009-大纲Ⅰ文-04 单-正切和角公式
• 2010-大纲Ⅱ文-03 单-诱导二倍角求值